xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】

文章目录

  • 第四章 二元关系和函数
    • 4.
    • 6.2
    • 9
    • 11
    • 12
    • 16
    • 18.1
    • 20.2
    • 22.1
    • 23
    • 28
    • 34
  • 第五章 代数系统的一般概念
    • 2判断二元运算是否封闭
  • 3
  • 4
  • 8
  • 11
  • 12
  • 14
  • 第六章 几个典型的代数系统
    • 1.
    • 5.
    • 6.
    • 7.
    • 11.
    • 12
    • 15
    • 16
    • 18
  • 第七章 图的基本概念
    • 1
    • 2
    • 4
    • 7
    • 9
    • 11
    • 12
    • 15

第四章 二元关系和函数

4.

A={1,2,3}

恒等关系

I A = { < 1 , 1 > , < 2 , 2 > , < 3 , 3 > } I_A=\{ <1,1>,<2,2>,<3,3>\} IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

全域关系 E A = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 2 , 1 > , < 2 , 2 > , < 2 , 3 > , < 3 , 1 > , < 3 , 2 > , < 3 , 3 > } E_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>\} EA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}

小于等于关系

L A = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 2 , 2 > , < 2 , 3 > , < 3 , 3 > } L_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>\} LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}

整除关系

D A = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 2 , 2 > , < 3 , 3 > } D_A=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>\} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

6.2

A={1,2,4,6},列出R

R={(x,y)|x,y ∈ \in A ∧ \wedge |x-y|=1}

R = { < 1 , 2 > , < 2 , 1 > } R=\{<1,2>,<2,1>\} R={<1,2>,<2,1>}

9

R = { < 0 , 1 > , < 0 , 2 > , < 0 , 3 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 2 , 3 > } R=\{<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>\} R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R ∘ \circ R, R − 1 R^{-1} R1

R ∘ R = { < 0 , 2 > , < 0 , 3 > , < 0 , 3 > , < 1 , 3 > } R\circ R=\{<0,2>,<0,3>,<0,3>,<1,3>\} RR={<0,2>,<0,3>,<0,3>,<1,3>}

R − 1 = { < 1 , 0 > , < 2 , 0 > , < 3 , 0 > , < 2 , 1 > , < 3 , 1 > , < 3 , 2 > } R^{-1}=\{<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>\} R1={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

11

A = { 1 , 2...10 } A=\{1,2...10\} A={1,2...10}

R = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x + y = 10 } R=\{|x,y\in A\wedge x+y=10 \} R={<x,y>x,yAx+y=10}

对称性,非自反性(含 < 5 , 5 > <5,5> <5,5>)

12

关系图:

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第1张图片

关系矩阵:
[ 0 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 3 0 0 1 0 ] \left[ \begin{matrix} & 0 & 1&2&3 \\ 0 &1&0&0&1 \\ 1&0&0&0&0 \\ 2&1&1&0&1\\ 3&0&0&1&0\\ \end{matrix} \right] 012301010100102000131010

16

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第2张图片

$ 自反闭包:r®=R\cup R^0$

对称闭包 : s ( R ) = R ∪ R − 1 对称闭包: s(R)=R\cup R^{-1} 对称闭包:s(R)=RR1

传递闭包 : t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ . . . 传递闭包: t(R)=R\cup R^2\cup... 传递闭包:t(R)=RR2...

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第3张图片

18.1

Z + Z^+ Z+ 的划分

  1. ∅ \emptyset ∉ \notin / π \pi π

  2. S1,S2不交

  3. S2= Z + Z^+ Z+-S1= Z + Z^+ Z+ ∩ \cap ~S1

    S1 ∪ \cup S2=( Z + Z^+ Z+ ∩ \cap ~S1) ∪ \cup S1=( Z + Z^+ Z+ ∪ \cup S1) ∩ \cap (~S1 ∪ \cup S1)= Z + Z^+ Z+

20.2

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第4张图片

22.1

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第5张图片

极大元:e

极小元:a

最大元:e

最小元:a

23

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第6张图片

蓝色圈住的地方为B

上界:12

下届:1

最小上届:12

最大下届:1

28

回答是否为满射、单射、双射。若为双射,求反函数。求A在f下的像f(A)

为满射,单射,双射。

反函数为 f ( x ) − 1 = < x , x − 1 > f(x)^{-1}= f(x)1=<x,x1>

f(A)=6

非满射,非单射。

f(A)={1,2}

非满射,为单射

f(A)={1, 2 3 2\over 3 32}

34

(1)

g ∘ \circ f=f(g(x))=f(x+4)= ( x + 4 ) 2 − 2 (x+4)^2-2 (x+4)22

f ∘ \circ g=g(f(x))=g( x 2 x^2 x2-2)= x 2 x^2 x2+2

(2)

g ∘ \circ f非单射,非满射,非双射

g ∘ \circ f非单射,非满射,非双射

(3)

g,h有反函数

g ( x ) − 1 g(x)^{-1} g(x)1=x-4

h ( x ) − 1 h(x)^{-1} h(x)1= ( x + 1 ) 1 3 (x+1)^{1\over3} (x+1)31

第五章 代数系统的一般概念

2判断二元运算是否封闭

(2) 封闭

(4) 封闭

(8) 封闭

3

(2)不符合交换律、适合结合律。不符合分配律,分配律是两个二元运算之间的

(4) 不符合交换律,符合结合律。不符合分配律,分配律是两个二元运算之间的

(8) 适合交换律、结合律。符合分配律,乘法对加法适合分配律

4

(2) 无单位元(仅右单位元1),无零元,显然可得,无逆元

(4) 单位元为nxn的单位矩阵,零元为nxn的零矩阵。有逆矩阵的矩阵A的逆元为 A − 1 A^{-1} A1

(8) 加法:无单位元,无零元,显然可得,无逆元 //乘法:单位元为1,无零元,无逆元

8

(1)

  1. 满足交换律:*、 ∘ \circ ∙ \bullet
  2. 满足结合律:*、 ∘ \circ ∙ \bullet □ \Box
  3. 幂等: □ \Box

(2)

*:没有单位元,零元为a,无逆元

∘ \circ : 单位元为a,无零元,a的逆元为a,b的逆元为b

∙ \bullet :无单位元,无零元,无逆元

□ \Box : 无单位元(左单位元为a),无零元(右零元为b),无逆元

11

(2) S2构成V的子代数,S2对+, ∙ \bullet 都是封闭的

12

设V1=({1,2,3},°,1),其中x°y表示取x和y之中较大的数,V2=({5,6},*,6),其中x*y表示取x和y之中较小的数.

(1) 求出V1的所有子代数,其中哪些是平凡的子代数?哪些是真子代数?

(2)求积代数y,×y,给出积代数(V,×V,·,)的运算表和代数常数k,并说明k是什么特异元素

(1)

子代数系统的B的条件:

  1. B ⊆ \subseteq S
  2. B ∉ \notin / ∅ \emptyset
  3. B和S含有相同的子代数常数
  4. B对V中所有运算封闭

1为单位元

B1={1},B2={1,2},B3={1,3},B4={1,2,3}

其中平凡子代数为:B1,B4

真子代数为:B2,B3

(2)

V 1 × V 2 = < S 1 × S 2 , ∙ , k > V_1\times V_2= V1×V2=<S1×S2,,k>

S 1 × S 2 = { < 1 , 5 > , < 1 , 6 > , < 2 , 5 > , < 2 , 6 > , < 3 , 5 > , < 3.6 > } S_1\times S_2=\{<1,5>,<1,6>,<2,5>,<2,6>,<3,5>,<3.6>\} S1×S2={<1,5>,<1,6>,<2,5>,<2,6>,<3,5>,<3.6>}

< x 1 , y 1 > , < x 2 , y 2 > ∈ S 1 × S 2 ,\in S_1\times S_2 <x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2

< x 1 , y 1 > ∙ < x 2 , y 2 > = < x 1 ∘ x 2 , y 1 ∗ y 2 > \bullet= <x1,y1><x2,y2>=<x1x2,y1y2>

运算表:
[ < 1 , 5 > < 1 , 6 > < 2 , 5 > < 2 , 6 > < 3 , 5 > < 3.6 > < 1 , 5 > < 1 , 5 > < 1 , 5 > < 2 , 5 > < 2 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 1 , 6 > < 1 , 5 > < 1 , 6 > < 2 , 5 > < 2 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > < 2 , 5 > < 2 , 5 > < 2 , 5 > < 2 , 5 > < 2 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 2 , 6 > < 2 , 5 > < 2 , 6 > < 2 , 5 > < 2 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > < 3 , 5 > < 3 , 6 > ] \left[ \begin{matrix} &<1,5>&<1,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3.6>\\ <1,5>&<1,5>&<1,5>&<2,5>&<2,5>&<3,5>&<3,5>\\ <1,6>&<1,5>&<1,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3,6>\\ <2,5>&<2,5>&<2,5>&<2,5>&<2,5>&<3,5>&<3,5>\\ <2,6>&<2,5>&<2,6>&<2,5>&<2,6>&<3,5>&<3,6>\\ <3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>&<3,5>\\ <3,6>&<3,5>&<3,6>&<3,5>&<3,6>&<3,5>&<3,6>\\ \end{matrix} \right] <1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3,6><1,5><1,5><1,5><2,5><2,5><3,5><3,5><1,6><1,5><1,6><2,5><2,6><3,5><3,6><2,5><2,5><2,5><2,5><2,5><3,5><3,5><2,6><2,5><2,6><2,5><2,6><3,5><3,6><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3,5><3.6><3,5><3,6><3,5><3,6><3,5><3,6>
k = < 1 , 6 > k=<1,6> k=<1,6>

k是单位元

14

若 ψ 为 V 1 到 V 2 的同态 V 1 = < S 1 , ∘ > ( V ) 2 = < S 2 , ∗ > 则 ψ ( x ∘ y ) = ψ ( x ) ∗ ψ ( y ) 普通加法和矩阵加法 ψ ( a ) = [ a 0 0 a ] ψ ( b i ) = [ 0 b − b 0 ] ψ ( a ) + ψ ( b ) = [ a b − b a ] ( + 为矩阵加法 ) 故可知 ψ ( a + b i ) = ψ ( a ) + ψ ( b i ) ( 第一个 + 为普通加法,第二个为矩阵加 ) 若\psi为V_1到V_2的同态\\ V1=\pod V_2=\\ 则\psi(x\circ y)=\psi(x)*\psi(y)\\ 普通加法和矩阵加法\\ \psi(a)=\left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&a \end{matrix} \right] \psi(bi)=\left[ \begin{matrix} 0&b\\ -b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)+\psi(b)=\left[ \begin{matrix} a&b\\ -b&a \end{matrix} \right](+为矩阵加法)\\ 故可知\psi(a+bi)=\psi(a)+\psi(bi)(第一个+为普通加法,第二个为矩阵加)\\ ψV1V2的同态V1=<S1,>(V)2=<S2,>ψ(xy)=ψ(x)ψ(y)普通加法和矩阵加法ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0bb0]ψ(a)+ψ(b)=[abba](+为矩阵加法)故可知ψ(a+bi)=ψ(a)+ψ(bi)(第一个+为普通加法,第二个为矩阵加)

普通乘法和矩阵乘法 ψ ( a ∗ b i ) = [ 0 a ∗ b − a ∗ b 0 ] ψ ( a ) = [ a 0 0 a ] ψ ( b i ) = [ 0 b − b 0 ] ψ ( a ) ∗ ψ ( b ) = [ 0 a ∗ b − a ∗ b 0 ] 可知 ψ ( a ∗ b i ) = ψ ( a ) ∗ ψ ( b i ) ( 第一个 ∗ 为普通乘法,第二个 ∗ 为矩阵乘法 ) 普通乘法和矩阵乘法\\ \psi(a*bi)=\left[ \begin{matrix} 0&a*b\\ -a*b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)=\left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&a \end{matrix} \right]\\ \psi(bi)=\left[ \begin{matrix} 0&b\\ -b&0 \end{matrix} \right]\\ \psi(a)*\psi(b)=\left[ \begin{matrix} 0&a*b\\ -a*b&0\\ \end{matrix} \right]\\ 可知\psi(a*bi)=\psi(a)*\psi(bi)(第一个*为普通乘法,第二个*为矩阵乘法) 普通乘法和矩阵乘法ψ(abi)=[0abab0]ψ(a)=[a00a]ψ(bi)=[0bb0]ψ(a)ψ(b)=[0abab0]可知ψ(abi)=ψ(a)ψ(bi)(第一个为普通乘法,第二个为矩阵乘法)

故可知 ψ \psi ψ V 1 到 V 2 V_1到V_2 V1V2的同态

不为单同态,因为对于*来说, < a , b > 和 < b , a > 的结果相同 ψ ( a ∗ b i ) = ψ ( a ) ∗ ψ ( b i ) = ψ ( b ∗ a i ) 的结果相同\psi(a*bi)=\psi(a)*\psi(bi)=\psi(b*ai) <a,b><b,a>的结果相同ψ(abi)=ψ(a)ψ(bi)=ψ(bai)

为满同态

不为同构

第六章 几个典型的代数系统

1.

(1)可结合、1为单位元、其中任何元素都有逆元。故为群

(4)lcm:最小公倍数 gcd:最大公约数。

可结合。对于lcm有单位元1,对gcd有零元1。在S不仅只有一个元素时,零元无逆元。故为半群

(5)可结合。单位元为0。0的逆元为0,1的逆元为1;故其中任何元素都有逆元。为群

5.

可结合。2为单位元。其中任何元素都有逆元,为4-x。故可构成群

6.

(1)给出 ∘ \circ 运算表

∘ \circ f1=x f2= x − 1 x^{-1} x1 f3=1-x f4= ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1x)1 f5= ( x − 1 ) x − 1 (x-1)x^{-1} (x1)x1 f6= x ( x − 1 ) − 1 x(x-1)^{-1} x(x1)1
f1=x x x − 1 x^{-1} x1 1-x ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1x)1 ( x − 1 ) x − 1 (x-1)x^{-1} (x1)x1 x ( x − 1 ) − 1 x(x-1)^{-1} x(x1)1
f2= x − 1 x^{-1} x1 x − 1 x^{-1} x1 x 1- x − 1 x^{-1} x1 ( 1 − x − 1 ) − 1 (1-x^{-1})^{-1} (1x1)1 ( x − 1 − 1 ) x (x^{-1}-1)x (x11)x x − 1 ( x − 1 − 1 ) − 1 x^{-1}(x^{-1}-1)^{-1} x1(x11)1
f3=1-x 1-x ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1x)1 x x − 1 x^{-1} x1 − 1 -1 1 -1
f4= ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1x)1 ( 1 − x ) − 1 (1-x)^{-1} (1x)1 1-x 1 − ( 1 − x ) − 1 1-(1-x)^{-1} 1(1x)1 ( 1 − ( 1 − x ) − 1 ) − 1 (1-(1-x)^{-1})^{-1} (1(1x)1)1 x ( 1 − x ) − 1 ( ( 1 − x ) − 1 − 1 ) − 1 (1-x)^{-1}((1-x)^{-1}-1)^{-1} (1x)1((1x)11)1
f5= ( x − 1 ) x − 1 (x-1)x^{-1} (x1)x1 ( x − 1 ) x − 1 (x-1)x^{-1} (x1)x1 ( x − 1 ) − 1 x (x-1)^{-1}x (x1)1x 1 − ( x − 1 ) x − 1 1-(x-1)x^{-1} 1(x1)x1 x ( ( x − 1 ) x − 1 − 1 ) ( x − 1 ) − 1 x ((x-1)x^{-1}-1)(x-1)^{-1}x ((x1)x11)(x1)1x ( x − 1 ) x − 1 ( ( x − 1 ) x − 1 − 1 ) − 1 (x-1)x^{-1}((x-1)x^{-1}-1)^{-1} (x1)x1((x1)x11)1
f6= x ( x − 1 ) − 1 x(x-1)^{-1} x(x1)1 x ( x − 1 ) − 1 x(x-1)^{-1} x(x1)1 x − 1 ( x − 1 ) x^{-1}(x-1) x1(x1) 1 − x ( x − 1 ) − 1 1-x(x-1)^{-1} 1x(x1)1 ( 1 − x ( x − 1 ) − 1 ) − 1 (1-x(x-1)^{-1})^{-1} (1x(x1)1)1 ( x ( x − 1 ) − 1 − 1 ) x − 1 ( x − 1 ) (x(x-1)^{-1}-1)x^{-1}(x-1) (x(x1)11)x1(x1) x

可结合。f1为其单位元,所以元素都有逆元。故 < F , ∘ > <F,> 是一个群

7.

(1)可结合,a为单位元,所有元素均有逆元。故 < G , ∘ > <G,> 为群

(2)生成元有b,c。因为 b k , c k b^{k},c^{k} bk,ck涵盖了G里的所有元素

11.

G = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 } G=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\} G={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}

(1)所有生成元为:

n=20,生成元为小于等于20且与20互质的数

1 3 7 9 11 13 17 19

(2)G的所有子群

G = < 1 > = < 3 > = < 7 > = < 9 > = < 11 > = < 13 > = < 17 > = < 19 > G=<1>=<3>=<7>=<9>=<11>=<13>=<17>=<19> G=<1>=<3>=<7>=<9>=<11>=<13>=<17>=<19>(生成元的生成子群=G)

20的正因子为 1 2 4 5 10 20,故有6个子群

H 1 = < 0 > = { 0 } H1=<0>=\{0\} H1=<0>={0}

H 2 = < 1 > = G H2=<1>=G H2=<1>=G

H 3 = < 2 > = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 } = < 20 − 2 > = < 18 > H3=<2>=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18\}=<20-2>=<18> H3=<2>={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}=<202>=<18>

H 4 = < 4 > = { 0 , 4 , 8 , 12 , 16 } = < 20 − 4 > = < 16 > H4=<4>=\{0,4,8,12,16\}=<20-4>=<16> H4=<4>={0,4,8,12,16}=<204>=<16>

H 5 = < 5 > = { 0 , 5 , 10 , 15 } = < 15 > H5=<5>=\{0,5,10,15\}=<15> H5=<5>={0,5,10,15}=<15>

H 6 = < 10 > = { 0 , 10 } H6=<10>=\{0,10\} H6=<10>={0,10}

(3)[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FJb3ITaF-1678012348161)(课外学习资料/所需图片/QQ截图20221205145804.png)]

12

(1)

σ = \sigma= σ=(1 4 6 2 5 3 ), τ \tau τ=(1 3 2)(4 5 6)

(2)

σ τ − 1 σ = ( 1 , 2 , 6 ) ( 3 , 5 , 4 ) \sigma\tau^{-1}\sigma=(1,2,6)(3,5,4) στ1σ=(1,2,6)(3,5,4)

σ 2 = ( 1 , 6 , 5 ) ( 2 , 3 , 4 ) \sigma^2=(1,6,5)(2,3,4) σ2=(1,6,5)(2,3,4)

(3)

σ \sigma σ是6阶轮换, τ \tau τ是3阶轮换

15

(1)

由于已知为布尔代数, ∨ \vee ∧ \wedge 有可分配, ∧ \wedge ∨ \vee 也可分配

(a ∧ \wedge b) ∨ \vee (a ∧ \wedge b ∧ \wedge c) ∨ \vee (b ∧ \wedge c) ∨ \vee (a ∧ \wedge b ∧ \wedge c)

=((a ∧ \wedge b) ∧ \wedge (1 ∨ \vee c)) ∨ \vee ((b ∧ \wedge c) ∧ \wedge (1 ∨ \vee a))

=(a ∧ \wedge b) ∨ \vee (b ∧ \wedge c)

=b ∧ \wedge (a ∨ \vee c)

(2)

f ∗ f^* f=b ∨ \vee (a ∧ \wedge c)

16

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第7张图片

18

根据 ∨ \vee ∧ \wedge 的分配律可得

a ∨ \vee (b ∧ \wedge c)=(a ∨ \vee b) ∧ \wedge (a ∨ \vee c)

又因为a《=c,故a ∨ \vee c=c

带入可得

a ∨ \vee (b ∧ \wedge c)=(a ∨ \vee b) ∧ \wedge (a ∨ \vee c)=(a ∨ \vee b) ∧ \wedge c

第七章 图的基本概念

1

(1)

xmu 离散数学 卢杨班作业详解【4-7章】_第8张图片

(2)

d(v1)=2

d(v2)=4

d(v3)=2

d(v4)=3

d(v5)=1

d(v6)=0

∑ i = 1 6 d ( v i ) = 2 + 4 + 2 + 3 + 1 + 0 = 12 = 2 ∗ 6 = 2 ∗ m \stackrel{6}{\underset{i=1}{\sum}}d(v_i)=2+4+2+3+1+0=12=2*6=2*m i=16d(vi)=2+4+2+3+1+0=12=26=2m

(3)

奇度顶点的个数为2个。验证了:在任何图中,度数为奇数的顶点个数是偶数

(4)

无平行边。环为 e 2 e_2 e2 。孤立点为 v 6 v_6 v6 。悬挂顶点为 v 5 v_5 v5 。悬挂边为 e 4 e_4 e4

(5)

多重图:含平行边

简单图:不含平行边也不含环

G无平行边,G不是多重图。G含环,G不是简单图

2

由握手定理。 ∑ i = 1 6 d ( v i ) = 2 ∗ m = 24 \stackrel{6}{\underset{i=1}{\sum}}d(v_i)=2*m=24 i=16d(vi)=2m=24。减去3*6度,还剩下6度,若剩下n-3个顶点均为2度时,n最小。计算可得G中至少有6个顶点

4

设:n阶无向图中,度数为k+1的顶点个数为x,度数为k的顶点个数为y。

由题可得

x+y=n

根据握手定理得

(k+1)*x+k*y=2*m

(k+1)*(x+y)-y=2*m

(k+1)*n-y=2*m

y=(k+1)*n-2*m

7

(1)

4阶自补图有一种非同构

5阶自补图有两种非同构

(2)

不存在3阶自补图:

3阶完全图一共有3条边。其生成子图,与其生成子图的补图,边数不同,不可能同构。

不存在6阶自补图:

6阶完全图一共有6*5/2=15条边。其生成子图,与其生成子图的补图,边数不同,不可能同构。

9

n为奇数,则n阶完全图每个顶点的度数为偶数。

若G中 v i v_i vi 的度数为奇数。根据补图的定义可得 d G ( v i ) + d G ˉ ( v i ) = d k n ( v i ) d_G(vi)+d_{\bar G}(v_i)=d_{k_n}(v_i) dG(vi)+dGˉ(vi)=dkn(vi) ,n阶完全图每个顶点的度数为偶数。则若 G ˉ \bar G Gˉ v i v_i vi 的度数为奇数。同理可推广至其他的点

可证,G与G的补图的奇度顶点的个数相等

11

(1)

4条不同的初级回路: c e 3 c , e e 2 d e 1 e , b d e 1 e b , b a e b ce_3c,ee_2de_1e,bde_1eb,baeb ce3c,ee2de1e,bde1eb,baeb

5条不同的简单回路: c e 3 c , e d e , b d e b , b e a b , b a e d e b ce_3c,ede,bdeb,beab,baedeb ce3c,ede,bdeb,beab,baedeb

(2)

a到d的短程线为: a e e 2 d aee_2d aee2d,距离为 d < a , d > = 2 d=2 d<a,d>=2

(3)

d到a的短程线为: d e 1 e b a de_1eba de1eba,距离为 d < d , a > = 3 d=3 d<d,a>=3

(4)

D是单向连通图

经过每个顶点至少一次的通路: b a e e 2 d c baee_2dc baee2dc

12

D的邻接矩阵为
A 1 = [ 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 ] A^1=\left[ \begin{matrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&0&0&0\\ \end{matrix} \right] A1= 0011101001000110

A 2 = [ 0 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ] A^2=\left[ \begin{matrix} 0&0&1&1\\ 2&1&0&1\\ 1&1&1&1\\ 0&1&0&0\\ \end{matrix} \right] A2= 0210011110101110

A 3 = [ 2 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 1 1 ] A^3=\left[ \begin{matrix} 2&1&0&1\\ 1&2&1&1\\ 2&2&1&2\\ 0&0&1&1\\ \end{matrix} \right] A3= 2120122001111121

A 4 = [ 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 0 1 ] A^4=\left[ \begin{matrix} 1&2&1&1\\ 2&2&2&3\\ 3&3&2&3\\ 2&1&0&1\\ \end{matrix} \right] A4= 1232223112201331

(1)

D中 v 1 v_1 v1 v 4 v_4 v4长度为4的通路有多少条?

a 14 ( 4 ) = 2 a_{14}^{(4)}=2 a14(4)=2,有两条

(2)

D中 v 1 v_1 v1 v 1 v_1 v1长度为4的通路有多少条?

a 11 ( 3 ) = 2 a_{11}^{(3)}=2 a11(3)=2,有两条

(3)

D中长度为4通路总数为多少?其中有多少条是回路?

总数为 ∑ i , j 4 a i j ( 4 ) = 29 \stackrel{4}{\underset{i,j}{\sum}}a_{ij}^{(4)}=29 i,j4aij(4)=29条通路

其中 ∑ i , j 4 a i i ( 4 ) = 6 \stackrel{4}{\underset{i,j}{\sum}}a_{ii}^{(4)}=6 i,j4aii(4)=6条为回路

15

正则图为无向简单图,不可有平行边和环

有2种非同构情况

6和3,3

你可能感兴趣的:(厦大作业,算法)