_37LeetCode代码随想录算法训练营第三十七天-动态规划背包问题 | 1049.最后一块石头的重量II、494.目标和、474.一和零
_37LeetCode代码随想录算法训练营第三十七天-动态规划背包问题 | 1049.最后一块石头的重量II、494.目标和、474.一和零
题目列表
- 1049.最后一块石头的重量II
- 494.目标和
- 474.一和零
1049.最后一块石头的重量II
代码随想录地址：https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html
题目
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； - 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
提示：
1 <= stones.length <= 301 <= stones[i] <= 100
思路
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
- 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
- dp数组初始化
全部元素初始化为0。
- 遍历顺序
外层循环为石头数组(从左到右遍历)，内层循环为背包容量(从右到左遍历)。
- 举例推导dp数组
我的心算过程，不写嘿嘿
代码
- 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
- 空间复杂度：O(m)
/*
* @lc app=leetcode.cn id=1049 lang=cpp
*
* [1049] 最后一块石头的重量 II
*/
// @lc code=start
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
//计算所有石头的总重量
int sum = 0;
for(int data : stones)
sum += data;
//求得背包的最大重量
int target = sum / 2;
//定义和初始化dp数组
vector<int> dp(target + 1, 0);
//遍历
for(int value : stones)
for(int j = target; j >= value; j--)
dp[j] = max(dp[j], dp[j - value] + value);
return sum - dp[target] - dp[target];
}
};
// @lc code=end
494.目标和
代码随想录地址：https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html
题目
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 200 <= nums[i] <= 10000 <= sum(nums[i]) <= 1000-1000 <= target <= 1000
回溯算法
思路
会超时。
本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
所以直接求组合之和为left的数目就行了。
代码
时间复杂度为： 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1,n表示nums数组的长度
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
}
// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和
// 以下为回溯法代码
result.clear();
path.clear();
sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
return result.size();
}
};
动态规划
思路
本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
left就可以作为背包的容量，dp[left]表示组合和为left的所有可能情况的个数，也就表示了本题要求的运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
- 确定递推公式
有哪些来源可以推出dp[j]呢？
只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
- 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
- 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
- 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
- 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
- 确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
- 举例推导dp数组
我心算了。
代码
- 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
- 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
/*
* @lc app=leetcode.cn id=494 lang=cpp
*
* [494] 目标和
*/
// @lc code=start
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
//计算nums数组的元素和
int sum = 0;
for(int data : nums)
sum += data;
//如果target的模大于sum，则不可能凑成target
if(abs(target) > sum)
return 0;
//如果求出left非整数，那么也不可能凑成target
if((sum + target) % 2 == 1)
return 0;
int left = (sum + target) / 2;//求得left的值
//背包的最大容量为left
//定义dp数组，dp[i]表示组合和为i的不太组合个数为dp[i]
vector<int> dp(left + 1, 0);
//初始化dp数组，当nums = [0]时，dp[0] = 1
dp[0] = 1;
//遍历
for(int data : nums)
for(int j = left; j >= data; j--)
dp[j] += dp[j - data];
return dp[left];
}
};
// @lc code=end
474.一和零
代码随想录地址：https://programmercarl.com/0474.%E4%B8%80%E5%92%8C%E9%9B%B6.html
题目
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：
输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
提示：
1 <= strs.length <= 6001 <= strs[i].length <= 100strs[i]仅由'0'和'1'组成1 <= m, n <= 100
思路
本题是01背包，m和n相当于时两个背包，也就是两个维度的背包。
本题不是多重背包，因为多重背包讲的是一种物品可以放多个，和本题不是一个意思。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] [j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i] [j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
- dp数组如何初始化
首先是dp[0] [0]初始化为0，其他项也初始化为0，为了保证递推的时候dp[i] [j]的值不会被初值覆盖。
- 遍历顺序
外层循环是物品，其遍历顺序是从左到右；内层循环是背包，其遍历顺序是从右到左。
- 举例推导dp数组
心算了嘻嘻。
代码
/*
* @lc app=leetcode.cn id=474 lang=cpp
*
* [474] 一和零
*/
// @lc code=start
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
//定义和初始化dp数组
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
//遍历字符串数组
for(string str : strs)
{
//统计当前str的0和1的数量
int oneNum = 0;
int zerosNum = 0;
for(char ch : str)
if(ch == '1')
oneNum++;
else
zerosNum++;
//遍历背包
for(int i = m; i >= zerosNum; i--)
for(int j = n; j >= oneNum; j--)
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zerosNum][j - oneNum] + 1);
}
return dp[m][n];
}
};
// @lc code=end