《漫画傅里叶解析》笔记（5）

  《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄

第6章 傅里叶变换的准备知识

一、 用三角函数的加法运算制作图形

   1. 画出Y=sinX+cosX的图形。加法的结果得到两函数振幅的合成后的大小；横向位置改变；

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   2. 图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。 这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。

二、 acosX与bsinX的合成

   1. acosx与bsinx的幅度大小就是
   2. sin nx 与 cos nx 合成时是n 周期，这个n 周期对应着角频率ω，有了周期和振幅r ，就能得到频谱图。

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三、 周期不同的三角函数的合成

  可以组合成不同的波形。

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四、 傅里叶级数

  多个函数的组合
  傅里叶级数

   1. 首先，解释一下式子的整体意思，这个式子中，左边的F(x)函数表示右边由cos与sin函数合成得到的函数。当然，F(x)表示怎样的函数，根据a0,a1,a2,…,an,…,b1,b2,…..bn,….的变化
  改变，那么在此，通过F(x)与a0,a1,a2,…,an,…,b1,b2,…..bn,….的关系来研究合成的意义吧。
   2. 表达式的第一项1/2a0,这个常数项能使后面的由三角函数合成的波形全体进行上下移动。
   3. 傅里叶级数中的n，这个n既是“决定振幅大小的数值”，也是“函数中x前面的决定周期的数值”，这两个数值中应该同时代人1,2,3,4……不断累加起来。
   4. a0,a1,a2,…,an,…,b1,b2,…..bn,….叫做傅里叶系数，这些系数的值能决定F(x)波形的形状。之所以这么说，是因为傅里叶级数中，决定振幅的an与bn的n与决定周期的nx的n联系在一起，而且an与bn分别表示cos与sin函数的系数，如果决定了an与bn的大小，合成函数的形状也就是F(x)的波形也就自然而然地为某一定值了。

   5. 锯齿波： An=n的倒数，即 1,1/2,1/3….. ，用excel计算 图形。

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   6. 方波： An =奇数。当n累加到无穷大时合成得到的波形叫做方波（又叫矩形波）。

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五、 时间函数与频率谱

  1. 讲三角函数时，三个不同的点在半径1，2，3的圆上旋转。将这个用随时间变化的图形表示出来，就能得到sin函数。

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   2. 这种随时间变化的函数叫做时间函数。有确定周期的重复变化的函数叫做周期函数。接下来，以ω为横轴，转换为频率谱图像。这样就完成了从时间函数到频率谱转换的流程。

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  3. 半径为3的圆周上，以ωt旋转的点可以用Y=3sinx 表示。同理，其余两个函数是Y=4sin2x，Y=2sin3x；将这些函数加起来，变成下图：

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   4. 傅里叶变换，就是从这样加法合成得到的函数中，能将加起来之前的各个函数的周期和大小计算出来。
  5. 傅里叶变换中的函数是周期函数，自然界中的很多波不是周期函数，只要取一段时间区间，将该波形不断重复形成周期函数，就能用傅里叶变换进行计算了。

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六、 傅里叶变换的入口

   1. 合成和变换互为逆运算。将多个函数组合起来叫做“合成”。研究某个东西是怎样组合而成的叫做“变换”。
   2. 根据傅里叶级数的逆向思考方法，采用傅里叶变换对波形进行分析，叫做傅里叶解析。

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