密码学小知识(7)：简单理解密文策略基于属性加密（CP-ABE）访问树的构造与解密

在实际应用中，我们会考虑设计一种密文策略基于属性加密（CP-ABE）的方案来实现对某个系统的访问权限，而比较难理解的是访问树的构造，因此本文将简洁明了、通俗易懂的介绍如何构造访问树，以及解密出访问树的秘密值。

通常而言，访问树可用于隐藏源数据的秘密密钥，只有达到一定条件时，才能解出秘密值，即密钥。访问树，顾名思义也是一种树结构，由叶子节点、非叶子节点和根节点构成。

• （1）根节点：即最终的源数据的秘密密钥，访问者需满足最低阈值才能获取密钥。
• （2）非叶子节点：也称为 门限节点，访问者只有满足门限的阈值时，才能解出此节点的秘密值。
• （3）叶子节点：数据拥有者所设定的属性和属性值，以及父节点传递过来的秘密值。

1. 构造访问树

如图所示，构建一个对某系统的访问权限控制的访问树。要实现访问某系统的访问者，需满足以下属性：

• 第一种，满足（网安学院 OR 计算机学院）和（教师）属性。
• 第二种，满足（网安学院 OR 计算机学院）和（周五下午 AND 信息安全专业 AND 研三）属性。
• 第三种，满足（教师）和（周五下午 AND 信息安全专业 AND 研三）属性，但这种属性结合不存在，即只有以上两种。

前提，假设多项式是随机生成，且最高次数为门限值减1，其中常数项设置为秘密值。

首先，根节点（门限值为2，孩子节点有3个），随机生成一个一次（c）多项式，如$f(x)=6+2x$，秘密值为6。则将根节点的孩子节点从左到右依次标记为 1、2、3，将其带入根节点的多项式中，得到新生成的秘密值（$f(1)=8,f(2)=10,f(3)=12$）传递给孩子节点保存。

然后，“1-of-2 （OR）”节点构造OR门（满足其中一种属性），“3-of-3（AND）”节点构造AND门（满足所有属性）。这两种节点都按照上面的方式生成随机多项式，常数项为新生成的秘密值。“1-of-2 （OR）”节点随机生成一个0次（门限值1减1）多项式，即$f(x)=8$，“3-of-3（AND）”节点随机生成一个2次（门限值3减1）多项式，即$f(x)=12+3x+4x^2$。同样按照上面的方式，再传递给它们的孩子节点（即叶子节点），生成新的秘密值。

从而构建完成了如上图所示的访问树！

2. 解密访问树的秘密值

解密访问树的秘密值，正好是与构造过程相反，从叶子节点属性出发。访问者需要在属性集中寻找出和此叶子节点属性相同的属性，并用找出的属性解密出它们的秘密值，然后进一步解密其父子节点，从而到最后解密根节点的秘密值。

如在上述的访问树种，“3-of-3（AND）”节点的多项式为$f(x)=12+3x+4x^2$，其孩子节点的值为19、34、57（忽略随机数），即有$f(1)=19,f(2)=34,f(3)=57$，解密时只知道对应的三个点$(1,19),(2,34),(3,57)$，而不知道多项式，而$f(0)=12$为它的秘密值，即已知这三个点，算出0所对应的值为多少，可以根据拉格朗日公式（可查阅相关文献，这里不再赘述）解出答案。

本文介绍的是本人理解的大致思想，还需要读相关的文献，以进一步加深印象和理解！