数字信号处理过程中的分数延时

在一些对延时精度要求较高的场景中，比如超声换能器阵列、差分麦克风等，常见设备的采样率能达到的整数延时精度十分有限，此时就需要通过一定的算法产生分数延时的效果。而到现在已经有多种成熟的分数延时算法被发表，这里还是从直觉上来理解一下。

直接能想到的一个简单方法是：升采样->延时->降采样

这样理论上是简单可行的，但分析后会发现计算过程存在严重冗余，白白消耗大量计算量。

最直接的分数延时方法，还是构建对应的分数延时滤波器

先直观感受一下，连续信号的延时滤波器是一个冲激信号，而数字信号在时频域总是有限长的，故一个延时对应sinc的采样而不是冲激。即连续信号的delta(t-delay)在离散信号中变成了sinc(n-delay)。如下图为0.4个采样周期的延时滤波器，上为理想滤波器，下为因果化平移后的结果。

那么接下来问题就是如何获得分数延时滤波器的系数了。

1. FIR分数延时滤波器（FIR-FDF）

a. 通过加窗的sinc函数获得

经过前面分析，一个直接的方法就是直接计算sinc(n-delay)即可。当然，由于实际需要截断，会导致吉布斯现象的出现，致使FDF幅频曲线出现明显纹波，这时候就需要加以适当的窗函数对其频谱进行改善。此时，分数延时滤波器的脉冲响应设计为

其中，是所加窗的权系数；是延时后的sinc函数的采样值；和分别是所要进行的分数延时和因果化滤波器引入的延时。在一些如计算资源稀缺或者总延时过小等情况下，滤波器长度无法很长（比如个位数长度），此时这种加窗sinc函数的方法就很难控制其幅频谱的误差，就需要采用如平滑过渡带、最大平坦度或等纹波设计等改进方法。但对于现在的许多信号处理系统，滤波器长度可以轻易达到几十几百的长度，其幅频谱在需要的频带内相对于理想分数延时滤波器的误差几乎都是可以接受的，此时这样通过加窗的sinc函数获得FDF便成为了一种简单方便的方法。

• 优点：原理简单，性能稳定

• 缺点：存在与滤波器长度有关的延时下限

  
  
  直接截断的sinc-based FDF的频谱[4]
  
  
  切比雪夫加窗的的sinc-based FDF的频谱[4]

b. 通过Lagrange插值法拟合多项式系数获得

使用sinc函数作为演示滤波器，是直接由理想情况下离散信号的延时理论推理而来。另一方面，在一些情况下（）也可以将所需的FIR延时滤波器系数视作多项式系数，通过在处构建最大平坦度多项式即
，利用拉格朗日插值法，求解这些系数为

由该式可知，当延时D固定时，滤波器系数h(n)可直接求出，便得到了常规的FIR延时滤波器。

• 优点：计算简单
• 缺点：由于多项式拟合本身的不稳定性，仅适合构建低阶数滤波器，也就导致形成的滤波器带宽有限

Lagrange-based FDF的频谱[4]

c. 用于时变的分数延时的FDF

前面的方法都是针对某一个分数延时而生成一个对应的FDF，对于需要时变分数延时的系统，也存在一些成熟的方法，其中比较流行的一种是Farrow结构。该结构也是由多项式拟合方法确定系数，把D作为变量提出，整理这样的结构

[3]

。

• 优点：可快速变化的延时
• 缺点：同Lagrange-based方法

适用于输入信号带宽较小、所需延时变化快、算力较低的处理器。

sinc-based和Farrow结构的幅频与群延时谱[1]

2. 使用IIR的全通FDF

暂时没有深入了解，有需要再学习补充。

3. 可供参考的工具与源码

• MATLAB DSP库的工具 designFracDelayFIR 和 dsp.VariableFractionalDelay，可分别实现前面提到的两种FIR-FDF
• 赫尔辛基理工大学声学与声音处理技术实验室的MATLAB源码 Tools for Fractional Delay Filter Design，包含多种FIR和IIR的FDF设计方法，详细见参考文献3

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4. Reference:

1. MathWorks Design of Fractional Delay FIR Filters

2. Valimaki V, Laakso T I. Principles of fractional delay filters[C] 2000 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Proceedings (Cat. No. 00CH37100). IEEE, 2000, 6: 3870-3873.

3. Wu, S., Wu, M., Huang, C., & Yang, J. (2012). FPGA-based implementation of steerable parametric loudspeaker using fractional delay filter. Applied Acoustics, 73(12), 1271-1281.

4. Laakso, Timo I., et al. "Splitting the unit delay [FIR/all pass filters design]." IEEE Signal Processing Magazine 13.1 (1996): 30-60.