[图论] 暴力而又经典的多源最短路径算法————Floyd

没学过链式前向星或是邻接表就想做最短路径的题目？

Dijkstra太难懂？

你的一切顾虑都可以被Floyd轻松消灭

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前面所说的Dijkstra或是Bellman-ford,都有一个大前提，单源的最短路

也就是说，起点是一定的

但如果题目是计算u和v的最短路径，那就得做许多次单源最短路径的计算，时间太长了

而我们今天讲的Floyd是叫多源最短路径

也就是说，只需要调用一次这个函数，就可以把所有情况都涵盖到

思想：

利用动态规划的思想

f[i][j]表示i到j的最短路径

f[u][v]=min(f[v][w]+f[w][u],f[u][v]) 

代码：

void floyd(){
	for (int k=1;k<=n;k++){
		for (int i=1;i<=n;i++){
			for (int j=1;j<=n;j++){
				if (map[i][j]>map[i][k]+map[j][k]){
					map[i][j]=map[i][k]+map[j][k];
				}
			}
		}
	}
}

练习：

题目描述

平面上有n个点（n≤100），每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。

若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

输入

共n+m+3行，其中:

第一行为整数n。

第2行到第n+1行（共n行） ，每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标。

第n+2行为一个整数m(m<=1000)，表示图中连线的个数。

此后的m 行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线(点编号从1开始)。

最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。
 

输出

一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度。

样例输入1

5 
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5 
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

样例输出1

3.41

 

 

# include 
# include 
# include  
# include  
using namespace std;
# define int long long
int n,m,s,t,m2;
struct node2{
	int x,y;
}a[105];
double map[105][105];
void floyd(){
	for (int k=1;k<=n;k++){
		for (int i=1;i<=n;i++){
			for (int j=1;j<=n;j++){
				if (map[i][j]>map[i][k]+map[j][k]){
					map[i][j]=map[i][k]+map[j][k];
				}
			}
		}
	}
}
signed main(){
	scanf("%lld",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);	
	}
	scanf("%lld",&m);
	memset(map,0x7f,sizeof(map));
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%lld%lld",&u,&v);
		double w=sqrt((a[u].x-a[v].x)*(a[u].x-a[v].x)+(a[u].y-a[v].y)*(a[u].y-a[v].y));
		map[u][v]=map[v][u]=w;
	}
	scanf("%lld%lld",&s,&t);
	floyd(); 
	printf("%.2lf",map[s][t]);
	return 0;
}

 

特征：

一般题目中有从u到v类似的表述，一般就可以用Floyd，但有些题虽然有这样的表述，但是因为u和v是固定的，所以还是可以用单源最短路径去解决

优劣点：

优点：简单，易懂

缺点：时间复杂度为O(n^3)，n稍微大一点都不行。空间复杂度为n*n，大概只能处理N<=100的情况，空间复杂度是我们无法改变的，但时间能缩短就缩短，能少一个维度就少一个维度

今天对Floyd的讲解就到这里，大家有什么问题随时评论区问