Java二叉树
Java二叉树
- 1. 树型结构（了解）
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- 1.1 概念
- 1.2 概念（重要）
- 1.3 树的表示形式（了解）
- 1.4 树的应用
- 2. 二叉树（重点）
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- 2.1 概念
- 2.2 二叉树的基本形态
- 2.3 两种特殊的二叉树
- ❤️2.4 二叉树的性质❤️
- 2.5 二叉树的存储
- 2.6 二叉树的基本操作
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- ❄️2.6.1 二叉树的遍历❄️
- ⛄️2.6.2 二叉树的基本操作⛄️
- 2.7 基础面试题
- 2.8 二叉树的层序遍历
- 2.9 进阶面试题
- 2.10 前中后序的非递归实现
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大家好，我是晓星航。今天为大家带来的是 Java二叉树 的讲解！
1. 树型结构（了解）
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。**把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。**它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
- 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的。
1.2 概念（重要）
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
1.3 树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
孩子兄弟表示法：
1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树（重点）
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
2.2 二叉树的基本形态
上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。
2.3 两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（编号与树的结点一一对应）
❤️2.4 二叉树的性质❤️
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k - 1(k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1(叶子结点个数=度为2的结点个数＋1)
推论：
假设二叉树有N个结点，一颗二叉树，要么n0，要么n1，要么n2
N = n0+n1+n2 // (1)
一个有N个结点的树，应该有N-1条边。
边的总数：
度为0的结点，能产生多少条边？0
度为1的结点，有n1个，能产生多少条边？n1条边
度为2的结点，有n2个，能产生多少条边？2*n2条边
N-1 = n1+2*n2 // (2)
n0+n1+n2-1 = n1+2*n2
n0 = n2 + 1
得出一个结论：任何一个二叉树，叶子结点比度为2的结点多一个
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具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2 (n + 1)上取整
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对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
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- 若孩子结点i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若父亲结点i>0，左孩子：2i + 1 右孩子：2i + 2
- 若2i+1
- 若2i+2
比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中_____个叶子节点，_____个非叶子节点，_____个节点只有左孩子，_____个只有右孩子。
- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199
选B，因为叶子结点数 = 度为2的结点数 + 1 = 199 + 1 = 200
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n B n+1 C n-1 D n/2
选A，即叶子结点个数 = 1/2树总的结点个数
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383 B 384 C 385 D 386
选B，奇数个结点树的叶子个数 = 1/2(总结点个数+1)
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11 B 10 C 8 D 12
选B，2^10 = 1024 2^9 = 512 通过向上取整得树的高度为10。
由二叉树的性质4来推导k = log2 (n + 1) 向上取整
2.5 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉(孩子兄弟表示法)和三叉(孩子双亲表示法)表示方式，
具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.6 二叉树的基本操作
❄️2.6.1 二叉树的遍历❄️
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
用递归来解决二叉树的题。
⛄️2.6.2 二叉树的基本操作⛄️
// 前序遍历
void preOrderTraversal(Node root);
// 中序遍历
void inOrderTraversal(Node root);
// 后序遍历
void postOrderTraversal(Node root);
// 遍历思路-求结点个数
static int size = 0;
void getSize1(Node root);
// 子问题思路-求结点个数
int getSize2(Node root);
// 遍历思路-求叶子结点个数
static int leafSize = 0;
void getLeafSize1(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
int getLeafSize2(Node root);
// 子问题思路-求第 k 层结点个数
int getKLevelSize(Node root);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
// 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
// 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
Node find(Node root, int val);
2.7 基础面试题
前面已经为大家讲解过二叉树的基础面试题，链接如下：
http://t.csdn.cn/jHey8
2.8 二叉树的层序遍历
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
// 层序遍历
public void levelOredr(BTNode root) {
Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
if (root == null) {
return;
}
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
BTNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val + " ");
if (cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
}
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(BTNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
BTNode cur = queue.poll();
if (cur != null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
} else {
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
BTNode top = queue.peek();
if (top != null) {
return false;
}
queue.poll();
}
return true;
}
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
答：选A。
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
答：选E，先序遍历的第一个永远为根。
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
答：选D。先由后序遍历确定根为a，再由中序遍历确定b为左树，dce为右树，然后因为后续遍历中顺序为左根右，所以c为右树的根，继而d为c的左树，e为c的右树。
1、先遍历后序遍历的序列，从最后一个元素出发。
2、最后一个是根，拿着这个元素，在中序遍历的序列中找到该根
3、根的左边是左子树，根的右边是右子树。
4、接下来继续遍历后序遍历的序列，此时再次拿到的根就是这棵树的右子树。
…
问题：如果给前序和后序是否可以创建一个二叉树？
答：不能，因为现在你拿到的都是根。
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
答：A，由后续遍历确定根为F，ABCDE为F得左数，再由中序遍历确定E为F的左数根，由后序遍历得ABCD为E得左数，由中序遍历确定D为E的左数…最终确定此树为单向树，只有一个分支，从上往下依次为FEDCBA。
2.9 进阶面试题
前面已经为大家讲解过二叉树的进阶面试题，链接如下：
http://t.csdn.cn/QHBbL
2.10 前中后序的非递归实现
前面已经为大家讲解过二叉树的前中后序的非递归实现，链接如下：
http://t.csdn.cn/zKrHm
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