算法竞赛进阶指南：自然数拆分（Python）

题目描述：

给定一个自然数 N，要求把 N 拆分成若干个正整数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。

注意:

• 拆分方案不考虑顺序；
• 至少拆分成 2 个数的和。

求拆分的方案数 mod2147483648 的结果。

输入格式

一个自然数 N。

输出格式

输入一个整数，表示结果。

数据范围

1≤N≤4000

输入样例：

7

输出样例：

14

题目分析： 

很明显是完全背包的模型 将最后要得到的数看作背包的体积 将凑出该数的每一个数看作物品的体积

因此问题转化成了 完全背包求填满背包的方案数

我们考虑先用朴素版的dp

dp[i][j] 表示用前i个物品恰好填满体积为j的背包 状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]

那么这个式子怎么来的呢？首先这是一个完全背包 所以同一个物品可以重复选择 所以可列出如下等式：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-vi] + dp[i-1][j-2vi] + .... + dp[i-1][j-nvi]

其中 n*vi 小于 j

接下来简化这个式子 通过另一个等式：

dp[i][j-vi] = dp[i-1][j-vi] + dp[i-1][j-2vi] + ... + dp[i-1][j-nvi]

为什么这两个等式能列出来 请浅思考一下等式表达的含义即能理解

我们观察如下标红的两部分：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-vi] + dp[i-1][j-2vi] + .... + dp[i-1][j-nvi]

dp[i][j-vi] = dp[i-1][j-vi] + dp[i-1][j-2vi] + ... + dp[i-1][j-nvi]

可以发现他们是相等的 所以原式可以简化为 ：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-vi]

即为状态转移方程

完整代码如下 ： 

N = int(input())
dp = [[0 for i in range(N+1)]for j in range(N+1)]
dp[0][0] = 1

for i in range(1,N) :
    for j in range(N+1) :
        dp[i][j] = dp[i-1][j]
        if j >= i : dp[i][j] += dp[i][j-i]
        
print(dp[N-1][N]%2147483648)

很遗憾 测试数据卡了空间 该代码只能过 8/10 个测试点 所以我们考虑优化掉一维空间 

我们可以发现 无论是 dp[i-1][j] 还是 dp[i][j-vi] 相对于dp[i][j] 而言都是会被先计算的状态

而且 dp[i][j]也只与这两个状态相关 进一步观察可以发现 对于dp[i][j]而言 它用到的状态一定是本层i 的 j-vi 和上一层i-1 的 j  因此我们其实并不需要保存i这一维变量

因为dp[j-vi] 和 dp[j] 一定等于 p[i][j-vi] 和 dp[i-1][j] （这里请仔细思考清楚）

所以状态转移方程可以简化成 ：dp[j] = dp[j] + dp[j-vi]

AC代码 

N = int(input())
dp = [0 for i in range(N+1)]
dp[0] = 1

for i in range(1,N) :
    for j in range(i,N+1) :
        dp[j] += dp[j-i]
        
print(dp[N]%2147483648)

注意：i只能循环到N-1（题目要求 ： 至少拆分成 2 个数的和。）