二叉树理论基础和遍历方式-代码随想录-刷题笔记
二叉树理论基础
满二叉树
如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。
完全二叉树
除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。
之前我们刚刚讲过优先级队列其实是一个堆，堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。
二叉搜索树
前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树
平衡二叉搜索树
AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
C++中map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树（红黑树就是一种二叉平衡搜索树），所以map、set的增删操作时间时间复杂度是logn，注意我这里没有说unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_set底层实现是哈希表。
二叉树的存储方式
二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。
那么链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。
顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。
二叉树的遍历方式
1.深度优先遍历：先往深走，遇到叶⼦节点再往回⾛
前序遍历（递归法，迭代法）
中序遍历（递归法，迭代法）
后序遍历（递归法，迭代法）
这⾥前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序
前序遍历：中左右
中序遍历：左中右
后序遍历：左右中
栈其实就是递归的⼀种是实现结构
前中后序遍历的逻辑其实都是可以借助栈使⽤⾮递归的⽅式来实现的
2.⼴度优先遍历：⼀层⼀层的去遍
层次遍历（迭代法）
⼴度优先遍历的实现⼀般使⽤队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的
因为需要先进先出的结构，才能⼀层⼀层的来遍历⼆叉树
进阶
morris遍历是⼆叉树遍历算法的超强进阶算法，
morris遍历可以将⾮递归遍历中的空间复杂度降为O(1)
二叉树的定义
链式存储的定义方式
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
二叉树的定义和链表是差不多的，相对于链表 ，二叉树的节点里多了一个指针， 有两个指针，指向左右孩子。
二叉树的递归遍历
递归的实现就是：每⼀次递归调⽤都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压⼊调⽤栈中
然后递归返回的时候，从栈顶弹出上⼀次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上⼀层位置的原因
- 确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
- 确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
- 确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。
以下以前序遍历为例：
- 确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入vector来放节点的数值，除了这一点就不需要再处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是void，代码如下：
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)
- 确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：
if (cur == NULL) return;
- 确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，代码如下：
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
144. 二叉树的前序遍历
class Solution {
public:
void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
if (cur == NULL) return;
vec.push_back(cur->val); // 中
traversal(cur->left, vec); // 左
traversal(cur->right, vec); // 右
}
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
traversal(root, result);
return result;
}
};
94. 二叉树的中序遍历
class Solution {
public:
void dfs(TreeNode* root,vector<int>&ans){
if(root==NULL){
return;
}
dfs(root->left,ans);//左
ans.push_back(root->val);//中
dfs(root->right,ans);//右
}
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int>ans;
dfs(root,ans);
return ans;
}
};
145. 二叉树的后序遍历
class Solution {
public:
void dfs(TreeNode* root,vector<int>&ans){
if(root==NULL){
return;
}
dfs(root->left,ans);//左
dfs(root->right,ans);//右
ans.push_back(root->val);//中
}
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int>ans;
dfs(root,ans);
return ans;
}
};
二叉树的迭代遍历
144. 二叉树的前序遍历
前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放⼊栈中
然后将右孩⼦加⼊栈，再加⼊左孩⼦。
为什么要先加⼊右孩⼦，再加⼊左孩⼦呢？ 因为这样出栈的时候才是中左右的顺序
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode * root) {
stack<TreeNode*> st;
vector<int> result;
if (root == NULL) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top(); // 中
st.pop();
result.push_back(node->val);
if (node->right) st.push(node->right); // 右（空节点不⼊栈）
if (node->left) st.push(node->left); // 左（空节点不⼊栈）
}
return result;
}
};
145. 二叉树的后序遍历
前序遍历是中左右，后续遍历是左右中,只需要调整⼀下先序遍历的代码顺序
就变成中右左的遍历顺序，然后在反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
stack<TreeNode*> st;
vector<int> result;
if (root == NULL) return result;
st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
if (node->left) st.push(node->left); // 相对于前序遍历，这更改⼀下⼊栈顺序 （空节点不⼊栈）
if (node->right) st.push(node->right); // 空节点不⼊栈
}
reverse(result.begin(), result.end()); // 将结果反转之后就是左右中的顺序了
return result;
}
};
94. 二叉树的中序遍历（***）
前序遍历中访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进result数组中）可以同步处理
但是中序就⽆法做到同步
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
TreeNode* cur = root;
while (cur != NULL || !st.empty()) {
if (cur != NULL) { // 指针来访问节点，访问到最底层
st.push(cur); // 将访问的节点放进栈
cur = cur->left; // 左
}
else {
cur = st.top(); // 从栈⾥弹出的数据，就是要处理的数据（放进result数组⾥的数据）
st.pop();
result.push_back(cur->val); // 中
cur = cur->right; // 右
}
}
return result;
}
};
二叉树的统一迭代法
将访问的节点放⼊栈中，把要处理的节点也放⼊栈中但是要做标记(放⼊⼀个空指针作为标记)
我们将访问的节点直接加入到栈中，如果是处理的节点则后面放入一个空节点， 这样只有空节点弹出的时候，才将下一个节点放进结果集。
94. 二叉树的中序遍历
class Solution {
public:
vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
if (node->right) st.push(node->right); // 添加右节点（空节点不入栈）
st.push(node); // 添加中节点
st.push(NULL); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
if (node->left) st.push(node->left); // 添加左节点（空节点不入栈）
} else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
st.pop(); // 将空节点弹出
node = st.top(); // 重新取出栈中元素
st.pop();
result.push_back(node->val); // 加入到结果集
}
}
return result;
}
};
144. 二叉树的前序遍历
此时我们和中序遍历相比仅仅改变了两行代码的顺序
class Solution {
public:
vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop();
if (node->right) st.push(node->right); // 右
if (node->left) st.push(node->left); // 左
st.push(node); // 中
st.push(NULL);
} else {
st.pop();
node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
}
}
return result;
}
};
145. 二叉树的后序遍历
此时我们和中序遍历相比仅仅改变了两行代码的顺序
class Solution {
public:
vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
vector<int> result;
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop();
st.push(node); // 中
st.push(NULL);
if (node->right) st.push(node->right); // 右
if (node->left) st.push(node->left); // 左
} else {
st.pop();
node = st.top();
st.pop();
result.push_back(node->val);
}
}
return result;
}
};
二叉树层序遍历
层序遍历一个二叉树。就是从左到右一层一层的去遍历二叉树。这种遍历的方式和我们之前讲过的都不太一样。
需要借用一个辅助数据结构即队列来实现，队列先进先出，符合一层一层遍历的逻辑，而用栈先进后出适合模拟深度优先遍历也就是递归的逻辑。
而这种层序遍历方式就是图论中的广度优先遍历，只不过我们应用在二叉树上。
class Solution {
public:
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
queue<TreeNode*> que;
if (root != NULL) que.push(root);
vector<vector<int>> result;
while (!que.empty()) {
int size = que.size();
vector<int> vec;
// 这里一定要使用固定大小size，不要使用que.size()，因为que.size是不断变化的
for (int i = 0; i < size; i++) {
TreeNode* node = que.front();
que.pop();
vec.push_back(node->val);
if (node->left) que.push(node->left);
if (node->right) que.push(node->right);
}
result.push_back(vec);
}
return result;
}
};
//递归法
class Solution {
public:
void order(TreeNode* cur, vector<vector<int>>& result, int depth)
{
if (cur == nullptr) return;
if (result.size() == depth) result.push_back(vector<int>());
result[depth].push_back(cur->val);
order(cur->left, result, depth + 1);
order(cur->right, result, depth + 1);
}
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
vector<vector<int>> result;
int depth = 0;
order(root, result, depth);
return result;
}
};
226.翻转二叉树
针对二叉树的问题，解题之前一定要想清楚究竟是前中后序遍历，还是层序遍历。
二叉树解题的大忌就是自己稀里糊涂的过了（因为这道题相对简单），但是也不知道自己是怎么遍历的。
这道题递归的中序遍历是不行的，使用递归的中序遍历，某些节点的左右孩子会翻转两次。
//因为是先前序遍历，所以先进行交换左右孩子节点，然后反转左子树，反转右子树。
class Solution {
public:
TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
if (root == NULL) return root;
swap(root->left, root->right); // 中
invertTree(root->left); // 左
invertTree(root->right); // 右
return root;
}
};
深度优先遍历
class Solution {
public:
TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
if (root == NULL) return root;
stack<TreeNode*> st;
st.push(root);
while(!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top(); // 中
st.pop();
swap(node->left, node->right);
if(node->right) st.push(node->right); // 右
if(node->left) st.push(node->left); // 左
}
return root;
}
};
class Solution {
public:
TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
stack<TreeNode*> st;
if (root != NULL) st.push(root);
while (!st.empty()) {
TreeNode* node = st.top();
if (node != NULL) {
st.pop();
if (node->right) st.push(node->right); // 右
if (node->left) st.push(node->left); // 左
st.push(node); // 中
st.push(NULL);
} else {
st.pop();
node = st.top();
st.pop();
swap(node->left, node->right); // 节点处理逻辑
}
}
return root;
}
};
广度优先遍历
class Solution {
public:
TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
queue<TreeNode*> que;
if (root != NULL) que.push(root);
while (!que.empty()) {
int size = que.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
TreeNode* node = que.front();
que.pop();
swap(node->left, node->right); // 节点处理
if (node->left) que.push(node->left);
if (node->right) que.push(node->right);
}
}
return root;
}
};
总结
在实现迭代法的过程中，有同学问了：递归与迭代究竟谁优谁劣呢？
从时间复杂度上其实迭代法和递归法差不多（在不考虑函数调用开销和函数调用产生的堆栈开销），但是空间复杂度上，递归开销会大一些，因为递归需要系统堆栈存参数返回值等等。
递归更容易让程序员理解，但收敛不好，容易栈溢出。
这么说吧，递归是方便了程序员，难为了机器（各种保存参数，各种进栈出栈）。
在实际项目开发的过程中我们是要尽量避免递归！因为项目代码参数、调用关系都比较复杂，不容易控制递归深度，甚至会栈溢出。