C++基础算法②——高精度乘除法计算

C++基础算法①——高精度加减法计算

已知高精度加减法的，再看乘除会简单好多。那我们先看下乘法，乘法规则，是两数逐个相乘后再进行加法得出最终结果，其实就是再高精度加法前面做一个乘法操作。

高精度的加法思想：

1. 把大数存到字符串;
2. 对两数想乘的长度求解。两数相乘最大的值长度不会超过两个数长度之和。 len_max = len1+len2-1;
3. 字符串的每个字符数字都通过ASCII转换存到数组,
   注意的是要低位存在数组开头:a[i] = s[len-i-1]-‘0’;
4. 乘法进位的算式:
   ① c[i+j] += a[i] * b[j]
5. 对数组c进行加法进位：
   ① c[i+1] += c[i]/10;
   ② c[i] %= 10;
6. 结果溢出
7. 反向输出结果;

1. 高精度乘低精度

输入值，存到数组，并转为整数。

#include
#include
using namespace std;
string a;
int b[100],c;
int main(){
	cin >> a >> c;
	//把a 存储到 b里面去，a的最低位存储到b[0]
	int lena = a.size();
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i] = a[lena-1-i] - '0';
	} 

乘法：1234 * 5 ，我们可以知道 5分别对每个数相乘；也就是 b[0] * 5，b[1] * 5 等…。

//把c依次乘到b数组的每一位
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i] *= c;
	} 

乘法后，数组的值超过9的要进位。

	//处理进位
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i+1] += b[i]/10;
		b[i] %= 10;
	}

例如，9999 * 9 = 89991，已经溢出了，我们要进行处理；最后记得反向输出结果。

//高位处理，对象是b[lena] ，利用数位分离的方法
	while(b[lena]){
		b[lena+1] = b[lena]/10;
		b[lena] %= 10;
		lena++;//这里容易漏掉 
	}
//反向输出 
	for(int i=lena-1; i>=0; i--){
		cout << b[i];
	} 
	return 0;
} 

高精度 * 低精度完整代码：

#include
#include
using namespace std;
string a;
int b[100],c;
int main(){
	cin >> a >> c;
	//把a 存储到 b里面去，a的最低位存储到b[0]
	int lena = a.size();
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i] = a[lena-1-i] - '0';
	} 
	//把c依次乘到b数组的每一位
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i] *= c;
	} 
	//处理进位
	for(int i=0; i<lena; i++){
		b[i+1] += b[i]/10;
		b[i] %= 10;
	} 
	//高位处理，对象是b[lena] ，利用数位分离的方法
	while(b[lena]){
		b[lena+1] = b[lena]/10;
		b[lena] %= 10;
		lena++;//这里容易漏掉 
	} 
	//反向输出 
	for(int i=lena-1; i>=0; i--){
		cout << b[i];
	} 
	return 0;
} 

---

2. 高精度乘高精度

前面基本差不多，输入在转为整数存到数组里面。

#include
#include
using namespace std;
string s1,s2;
int a[100],b[100],c[200];
int main(){
	cin>>s1>>s2;
	int len1 = s1.size(); 
	int len2 = s2.size(); 
	int len_max = len1+len2-1; //
	for(int i=0;i<len1;i++){  
		a[i] = s1[len1-i-1]-'0'; 
	} 
	for(int i=0;i<len2;i++){  
		b[i] = s2[len2-i-1]-'0';
	}

总长度怎么求的呢？
1.乘法两数相乘(不考虑0)，一般总长度是 **【两数长度之和-1，两数长度之和】**这个区间，我这里设置 len_max = len1+len2-1；

竖式乘法求和

这样看，a数组的下标用i表示，b数组的下标用j表示，那c数组，可以看出 c[1+0] = a[1]*b[0] + a[0]*b[1] ; 推导出： c[i+j] += a[i] * b[j]。

// 乘法
	for(int i=0;i<len1;i++){
		for(int j=0;j<len2;j++){
			c[i+j] += a[i] * b[j]; 
		}
	}

乘完后，c数组的值有超过9的要进行加法进位

	for(int i=0;i<len_max;i++){
		c[i+1] += c[i]/10;
		c[i] %= 10;
	}

进位完成后，接着看有无溢出，最后反向输出结果。

//溢出处理，再加法进位一次
	while(c[len_max]){
		c[len_max+1] = c[len_max]/10;
		c[len_max] %= 10;
		len_max++;
	} 
//反向输出
	for(int i=len_max-1;i>=0;i--){
		cout<<c[i];
	} 

---

3. 高精度除低精度

由上图可看，首先4跟23相处，也就是最高位除以23。那数组存储的话a[0]就是最高位的。

#include
#include
using namespace std;
string s;
int a[1000],b,c[10000],x=0;
int main(){
	cin>>s>>b; 
	int len = s.size(); 
	for(int i=0;i<len;i++){
		a[i] = s[i]-'0'; //最高位存a[0]
	}

怎么得出整数0，余数4呢？

整数：c[0] = a[0] / b
余数：? = a[0] % b

怎么得出整数1，余数45呢？

整数：c[1] = (a[0]*10+a[1]) / b；
余数：? =  (a[0]*10+a[1]) % b；

a[0] * 10 我们可以用 x * 10表示；余数用x表示。

	// 除法
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i] = (x*10+a[i]) / b;
		x = (x*10+a[i]) % b;
	}

这样子c[i] 就存着除法的结果商。例如：4567 / 23 = 0198 … 13
发现数组c的结果有0。如何取出掉呢？在乘法时候我们用len–方式取出，除法的话反过来要 len++;让c数组索引往后挪一位这样就忽略前导0了。

	// 去除前导〇
	int lenc=0;
	while(c[lenc]==0 && lenc<len){
		lenc++;
	}

最后输出，索引开头应该是从lenc开始哟！

	for(int i=lenc;i<len;i++){
		cout<<c[i];
	}

高除低完整代码：

#include
#include
using namespace std;
string s;
int a[1000],b,c[10000],x=0;
int main(){
	cin>>s>>b;
	int len = s.size(); 
	for(int i=0;i<len;i++){
		a[i] = s[i]-'0';
	}
	for(int i=0;i<len;i++){
		c[i] = (x*10+a[i]) / b;
		x = (x*10+a[i]) % b;
	}
	int lenc=0;
	while(c[lenc]==0 && lenc<len){
		lenc++;
	}
	for(int i=lenc;i<len;i++){
		cout<<c[i];
	}
	return 0;
}