2019-03-08

今天的review来的人不多，羡慕Polchinski在他的自传里描述的他在Stanford的生活。过去了这么多年，他还是可以回忆起好多当时的朋友，一起讨论各种物理的朋友。只要一想起一到周五下午，就挤满reasonable thinkers的休息室就让人神往呀。想起老郭描述他小时候学说书的故事。他认为自己说书的艺术造诣高于相声，主要是因为小时候熏的结果。是说一到周末，全市说书的老头老太太就聚在一起聊，他就是在那种环境下熏出来的。我也开始怀念之前的组会。那两年在Oleg还有Daneil的熏陶下，成长了很多，多了很多自信和在物理中寻求快乐的方法。昨晚写今天讲稿的note的时候，也越发觉得自己可以胡扯得越来越多。物理本身还是让人开心的呀，不管是什么领域方向，科普也好，technical也罢，里面都有可以提炼的乐趣。

Ising model具有一个self duality：交换自旋自由度和kink自由度。这里面有一个很有意思但是一直被忽略的subtlety。在自旋自由度的描述下，但neighbour相互作用占主导时，系统的基态是二重简并的：全部自旋朝上或是朝下，这样系统本身的Z2对称性：翻转所有的自旋，就破坏了。当我们升高温度也就是给系统注入能量的时候，会引起激发。这个激发可以是local的，对应了翻转其中一个自旋，这种激发也叫自旋波。也可以是nonlocal的，对应了翻转某一个site所有左边的自旋，这个就是我们的kink了。当注入的能量越来越多，温度越来越高，kink的数量也越来越多，最后会占主导，这时候更方便的描述就是以kink作为基本自由度来重新描述Ising model。做完这个变换之后，model在形式上还是一个Ising model，但是coupling变为之前的倒数。因为model形式上没变，他的基态还是二重简并，这两个态通过Z2对称性联系起来。但是通过我们之前的分析，这个变换后Ising model的基态是对应于之前model的混乱态。而系统的混乱态是唯一的。这就要求变换后的Ising model的两个基态是等价的，这就说明联系两个基态的Z2对称必须是gauge symmetry。所以要严格来表述这个duality，我们要引入一个Z2规范场。

我们有两个Z2对称，对于spin model，他是global对称，对于kink model，他是gauge symmetry。To keep track of them and put them on the same footing, 我们对于gauge对称引入一个dynamical的规范场，对于global对称引入一个background的规范场。这两个场由Z2 group 的 first cohomology来表述。

我们就可以有一个很有趣的图像来描述之前的duality。考虑一个Z2的规范场理论，因为是一个pure gauge theoty，里面的observables都是一些non local的规范不变量：Wilson line 或者‘t Hooft line。在这个场论的边界上，存在一些charge分别和两种line耦合。考虑和Wilson line 耦合的charge构成的理论，我们把Wilson line promote成dynamical的，也就是说把Wilson line 看成gauge，所以要对所有Wilson line求和。因为Wilson line和’t Hooft line是配对的，对Wilson line求和后，我们就得到一个和‘t Hooft line 耦合的边界理论。这个就是之前看到的duality。如果我们把两种line 组合在一起还会得到Dirac line，带有自旋1/2。所以我们可以考虑另外一种可能的边界理论：一个费米理论。利用刚才的图像，我们就马上得到一个fermionic 和 bosonic 理论的对偶。