数学建模之评价类问题

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前言

我最近在学习数学建模，希望把我学到的东西都记录下来。尤其是记录一些模型的思路和代码，这样以后比赛的时候就能拿过来直接用了。由于本人水平有限，所以文章侧重于模型的应用，而模型背后的原理将不会加以证明。
我最近在做2021年国赛的C题，这道题是一道典型的评价类问题。本文将主要针对此题展开研究，介绍一下评价类问题常用的几种方法。

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问题的提出

假设有m家公司，n个指标（假设均为正向化指标）。给出这m家公司关于这n个指标的所有数据，这些数据构成一个m行n列的矩阵，记为$A$，$A=(a_{ij}{)}_{m\ast n}$。现要求对这m家公司进行排名。

公司	指标1	指标2	……	指标n
公司1	$a_{11}$	$a_{12}$	……	$a_{1n}$
公司2	$a_{21}$	$a_{22}$	……	$a_{2n}$
……	……	……	……	……
公司m	$a_{m1}$	$a_{m2}$	……	$a_{mn}$

评价类模型

题干描述非常简单，就是要依赖给出的这些数据，建立一个评价类模型，来评价这些公司。而评价类问题的重中之重，则是确定各个指标之间权重。评价类的模型主要有层次分析法，熵权法，TOPSIS法，模糊综合评价法，灰色关联分析等方法。前三种算法在此题中应用较好，后两种算法不太适合这道题。接下来重点介绍一下前三种算法。

层次分析法

层次分析法介绍

层次分析法，又叫AHP。层次分析法得名是因为其需要构造一个层次结构。AHP对目标的各个指标之间逐一进行比较，得到权重。若各个指标的具体数据（即题干中的矩阵A）没有明确给出，也可以两两比较，从而得到具体数据矩阵。该方法的核心是层次结构和两两比较的方法。

层次分析法步骤

构建层次结构

层次结构分为目标层、准则层和方案层。目标层就是我们最终要达到的目标和结果。在此题中，我们的目标就是对这m家公司进行一个排序，那么目标也可以写成选择最强的公司。准则层就是我们达成目标层的判断依据，自然就是这n个指标了。方案层是和目标层相对应的，目标层就是要在方案层中选择一个方案。方案层也可以理解为是研究对象，我们的研究对象就是这m个公司。根据题意，画出下面的层次结构。

目标层

准则层

方案层

选择最强的公司

指标1

指标2

指标3

指标4

指标n

公司1

公司2

公司m

构造判断矩阵

这n个指标的重要程度肯定是不一样的，我们需要定出这n个指标的权重。由于指标比较多，直接定权重难度较大，且主观因素太强，故我们采用的方法是对这些指标两两进行比较，从而在一定程度上削弱主观因素。设判断矩阵为B，B=$(b_{ij}{)}_{n\ast n}$。定义$b_{ij}$为与指标j相比，i的重要程度。$b_{ij}$具体的定法参见下表。

标度	含义
1	表示两个因素相比，具有同样的重要性
3	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2，4，6，8	上述两相邻判断的中值
倒数	A和B相比，如果标度为3，那么B和A相比就是$\frac{1}{3}$
人为构造的矩阵B就是层次分析法中的判断矩阵。

一致性检验

根据定义，$b_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}$，$b_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}$，$b_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}$，那么就应该有$b_{ik}=b_{ij}\ast b_{jk}$成立。但是，实际上，这些值都是我们人为设定的，所以这个式子不一定成立。我们允许判断矩阵B不那么完美，但是误差也不能太大。这个时候就要进行一致性检验，看看这个矩阵的一致性误差是否在我们允许的范围内。矩阵的一致性检验有一套固定的流程，接下来不加证明地给出这一套流程。

计算一致性指标CI

设${\lambda }_{max}$为B的最大特征根，$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$

引入平均一致性指标RI

查阅下表可获得平均一致性指标RI的值。

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

计算一致性比例CR

$CR=\frac{CI}{RI}$
当CR < 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

求权重

构造出一个能通过一致性检验的判断矩阵之后，就可以利用这个矩阵求权重了。求权重有三种方法，接下来依次介绍。一般用第三种方法会多一些，但在实际应用中，也可以把三种方法得到的结果取平均值，得到最终的权重。

算术平均法求权重

如果光看判断矩阵的每一列的话，我们不难发现，其实每一列归一化（每个元素除以其所在列的和）之后就是一个权重向量。但是每一列求得的权重向量不一定相同，所以对这n列求算术平均值就可以得到权重向量了。
那么算术平均值求得的第i个指标的权重${\omega }_i=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}}$

几何平均法求权重

在算术平均法求权重中，我们对于各列是采用算术平均的，那么其实也可以采用几何平均。
用几何平均值求得的第i个指标的权重${\omega }_i=\frac{({\prod }_{j=1}^n{a}_{ij}{)}^{\frac{1}{n}}}{{\sum }_{k=1}^n({\prod }_{j=1}^n{a}_{kj}{)}^{\frac{1}{n}}}$

特征值法求权重

由于我们的判断矩阵通过了一致性检验，故可以用一致矩阵求权重的方法来做。我们求出矩阵B的最大特征值${\lambda }_{max}$及其对应的特征向量，并对该特征向量进行归一化就可以得到我们的权重了。

代码

下面是用matlab写的代码。（代码不是我写的，原文链接：https://blog.csdn.net/qq_52785473/article/details/122442010）
data表示判断矩阵，可根据需要输入，或者从文件中获取。输出的是每个指标的权重${\omega }_i$。有了每个指标的权重之后，要比较公司的重要性，只需要加权平均，然后排序就可以了，这个工作非常简单，代码没有给出。

data = [1 1/2 4 3 3
    2 1 7 5 5
    1/4 1/7 1 1/2 1/3
    1/3 1/5 2 1 1
    1/3 1/5 3 1 1];%需要检验的一致性矩阵
[n,m]=size(data);

%求特征值特征向量,找到最大特征值对应的特征向量
[V,D]=eig(data);%求矩阵的特征值和特征向量，V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
lenda=max(D);
lendada=max(lenda);%求对角线向量
col = find(D(1,:) == max(lenda));%求最大特征值
lenda_V = V(:, col);% 最大特征值的特征向量，能够用于计算特征权重
for i = 1:n
    w(i,1) = lenda_V(i,1)/sum(lenda_V);
end

%一致性检验
CI=(lendada-n)/(n-1);
RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59];
%判断是否通过一致性检验
CR=CI/RI(n);
if CR>=0.1
   fprintf('没有通过一致性检验\n');
else
  w
  fprintf('通过一致性检验\n');
end

熵权法

熵权法介绍

层次分析法的权重带有很重的主观色彩，而为了使权重更加客观，我们利用原始数据中的某些特性来确定权重。一列数据方差越小，所反映的信息量也越少，那么此时其权重就应该越低。而一列数据所反映的信息量越少，其信息熵就越大。所以指标的信息熵就是这样一个具有优良性质的特性。而且信息熵越大，权重就越低。
熵权法只是一个确定权重的方法，一般和别的方法（如TOPSIS法）一起使用。故这个方法就不给出代码了。

熵权法步骤

数据标准化

由于每一列数据可能代表不同类别，不同单位的信息，所以为了方便比较，我们需要对数据进行标准化处理。
我们令$x_{ij}=\frac{a_{ij}-min(x_i)}{max(x_i)-min(x_i)}$
那么$\{x_{ij}\}$就是我们对A进行标准化处理之后的矩阵。

计算信息熵

令$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}}$
对于第j个指标而言，其信息熵的计算公式为$E_j=-\frac{1}{lnm}{\sum }_{i=1}^m{p}_{ij}ln{p}_{ij}$

计算指标权重

根据定义，信息熵是一个位于[0,1]的实数。由于信息熵和权重是负相关的，所以我们根据$1-E_j$来制定权重。
${\omega }_j=\frac{1-E_j}{{\sum }_{j=1}^n(1-E_j)}$
${\omega }_j$即为第j个指标的权重。

计算综合得分

第i家公司的综合得分为按照权重加权平均的结果，即$s_i={\sum }_{j=1}^n{\omega }_j{x}_{ij}$
这样就能给出公司的排序啦

TOPSIS法

TOPSIS法介绍

层次分析法和熵权法都是得到权重的方法，而得到权重之后直接通过加权平均来计算每一家公司的得分，对于数据没有充分地利用。而TOPSIS法则充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS法又称优劣解距离法。直观理解，就是在所有指标中选出最大值（最小值），组成一个最优方案（最劣方案）。距离最优方案越近、离最劣方案越远的那个方案就是最优方案。

TOPSIS法步骤

前期数据处理

由于涉及到最优解、距离等概念，所以有必要对各个指标的初始数据进行一些处理。先将所有指标转化为极大型指标，再对所有数据进行标准化处理。这里不做过多展开。

定义最大值和最小值

首先要找出每个指标的最优解和最劣解，即矩阵A每一列的最大值和最小值。
令$X_j^{+}=max\{a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}\}$，$X_j^{-}=min\{a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}\}$。

定义距离

定义第i家公司距离最优解的距离$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(X_j^{+}-a_{ij}{)}^2}$，其距离最最劣解的距离$D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(X_j^{-}-a_{ij}{)}^2}$。
这是假设每个指标权重相等的情况。如果第j个指标的权重为${\omega }_j$，那么可以更改上式为
$$\{\begin{array}{l}{D}_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n{\omega }_j(X_j^{+}-a_{ij}{)}^2}\\ D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n{\omega }_j(X_j^{-}-a_{ij}{)}^2}\end{array}$$

计算得分

令$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$
$S_i$即为第i家公司的得分。

TOPSIS法总结

综上所述，TOPSIS法的公式可以用下面几个式子来描述：
$$\{\begin{array}{l}{X}_j^{+}=max\{a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}\}\\ X_j^{-}=min\{a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}\}\\ D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n{\omega }_j(X_j^{+}-a_{ij}{)}^2}\\ D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n{\omega }_j(X_j^{-}-a_{ij}{)}^2}\\ S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}\end{array}$$

总结

层次分析法和熵权法都是用来获取权重的方式，前者较为主观，后者则是基于数据性质的客观方法。TOPSIS法则是在给出权重后，利用和最优解最劣解之间的距离进行排名的一种方法。TOPSIS法一般可以和层次分析法或者熵权法结合使用，这样可以在给出权重后，充分利用原始数据进行排名。对于这道题而言，熵权-TOPSIS法是比较好的一种方法。