DP(7)--状压DP

状压DP是一类以一个集合内的元素信息作为状态且状态总数为指数级别的动态规划
具有如下特点：
(1)数据规模的某一维或者几维非常小
(2)需要具备动态规划问题的基本性质

状压DP是利用计算机二进制的性质来描述状态的一种DP方式，
通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。
很多棋盘问题运用到状压DP.

/* https://www.luogu.com.cn/problem/P1896 */

/*
    状态方程:
    当前行(i)的状态为j,上一行(i-1)的状态为x
    f[i][j][k]=∑f[i-1][x][k - king[j]]
*/
#include
using namespace std;

const int MAXN = 100;
// 可用状态的十进制
int state[MAXN];
// 可用状态下的国王数，即state[i]的二进制中1的个数
int king[MAXN];
// f[i][j][k]: 当第i行状态j(状态值为state[j])时，已经放置了k个国王的总方案数
long f[10][MAXN][26];

int N, K, total = 0;
//  统计n的二进制中1的个数
unsigned int statistic1(unsigned int n)
{
    unsigned int cnt = 0 ;
    for (cnt = 0; n; ++cnt)
    {
        n &= (n - 1); // clean the lowest order 1
    }
    return cnt ;
}

void init()
{
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i <(1<     {
        // 如果存在2个国王左右相邻
        if (i & (i<<1))
            continue;
        state[++total] = i;
        king[total] = statistic1(i);
    }
}

bool compatible(int i, int j) 
{
    // 上下有重复的king
    if (state[i] & state[j])
        return false;
    // 左上右下有重复king
    if ((state[i] << 1) & state[j])
        return false;
    // 右上左下有重复king
    if (state[i] & (state[j] << 1))
        return false;

  return true;
}

int main()
{
    cin >> N >> K;
    init();

    int i, j, k, x;
    for (j = 1; j <= total; ++j)
        f[1][j][king[j]] = 1;

    for (i = 2; i <= N; ++i)
        for (j = 1; j <= total; ++j) // 第i行的状态为j
            for (x = 1; x <= total; ++x) // 第i-1行的状态为x
                if (compatible(j, x))
                {
                    for (k = king[j]; k <= K; ++k)
                        f[i][j][k] += f[i - 1][x][k - king[j]];
                }

    long long ans = 0;
    for (j = 1; j <= total; ++j)
        ans += f[N][j][K];

    cout << ans << endl;

    return 0;
}