字符串匹配—KMP算法

字符串匹配的应用非常广泛，例如在搜索引擎中，我们通过键入一些关键字就可以得到相关的搜索结果，搜索引擎在这个过程中就使用字符串匹配算法，它通过在资源中匹配关键字，最后给出符合条件的搜索结果。并且我们在使用计算机时，通常需要处理大量的字符串，例如编写C语言时的标准输入和标准输出都是字符串的形式，所以字符串匹配算法是一种非常重要的算法。

在介绍KMP算法之前，先简要说明一下暴力匹配算法。暴力匹配算法的思路非常简单，它通过将模式串与文本串中的子字符串（以文本串的第一个、第二个...以此类推直到第N+1-M个字符开始的长度为M的所有子串）进行比较，最后得到第一次匹配的位置。对于一个长度为N的文本串和长度为M的模式串，暴力匹配算法的时间复杂度为.而KMP算法将时间复杂度减少到了。

KMP算法是由D.EKnuth、J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，时间复杂度为的字符串匹配算法。KMP算法之所以能将时间复杂度减少到这个量级，是因为在KMP算法中充分利用了已匹配成功的部分，使得文本串中的指针不需要像暴力匹配算法一样回溯到正在比较子串的开头（第二个字符，因为如果匹配失败，指针会移动到匹配失败子串的第一个字符的下一个字符并重新开始比较），在比较过程中，文本串的指针一直在向后移动，我们只需要回溯模式串的指针即可。

下面本文将用例子来详细说明KMP算法的思路及过程，假设我们要在文本串acacfacace中找到模式串acace（字符串末尾的\0字符省略）。

在开始之前，首先介绍两个概念，前缀和后缀。字符串的前缀是指不包括字符串最后一个字符的所有子串，对上述例子，a,ac,aca,acac...acacfacac是文本串的所有前缀，后缀就是不包括第一个字符的，从后往前的串，e,ce,ace...cacfacace是文本串的所有后缀。

a

c

a

c

f

a

c

a

c

e

a

c

a

c

e

我们先开始从头匹配，匹配成功的部分标为红色，如上图。显然，模式串的最后一个字符与文本串的下一个字符不匹配，那么对于暴力匹配算法，接下来就会将文本串的指针回溯到第一个c字符，模式串的指针回溯到第一个字符。下面列出暴力匹配的一些步骤（用绿色表示接下来要匹配的串，注意标记的不是匹配成功的串，用紫色标记上一次匹配失败的位置）：

a

c

a

c

f

a

c

a

c

e

a

c

a

c

e

 那么可以看到，在f之前，cac与aca仍然不匹配，继续下一步：

a

c

a

c

f

a

c

a

c

e

a

c

a

c

e

在这一步中，可以看到两个ac匹配成功了。那么我们仔细观察就会发现，在第一步中已经匹配成功了acac子串，对于下面两步的暴力匹配算法，我们仍然需要拿出第一步中已经匹配成功的文本串的子串的一部分来与模式串进行比较。

显然，文本串中已经匹配成功的算法一定是模式串的子串。那么我们就会发现上面两步暴力匹配算法就是多余的，因为我们不需要比较文本串和模式串，我们只需要考察模式串就会发现cac与aca是不匹配的，也就是说这一步的暴力匹配算法可以删除。

下面我们进一步观察已经匹配的模式串和接下来暴力匹配的部分有什么关系。在上面的例子中，如果我们将已匹配部分看成一个字符串，那么cac和aca就是它的一个后缀和前缀，ac和ac也是它的一个前缀和后缀，也就是说，在暴力匹配算法中的文本串指针还没有移出刚才比较成功的字符串时，文本串和模式串的每次比较实际上都是已匹配部分的前缀和后缀的比较。所以当我们找到模式串中已匹配部分的最长相等前后缀，那么将模式串的指针移动到这个前缀的下一个字符，文本串的指针不用移动，就可以继续比较，因为我们知道模式串指针之前的部分一定是匹配的，并且这个匹配部分一定是最长的。

我们需要建立一个next数组用来表示当模式串中一个位置的元素匹配失败时，模式串的指针应该回溯到什么地方重新比较。这个回溯位置取决于匹配失败元素之前的子串的最长相等前后缀。比如在上面的例子中，acac的最长相等前后缀的长度为2，也就是说，在下一次比较时，模式串的长度为2的前缀已经匹配成功了，所以只需要将指针移动到第三个字符即可。

KMP算法代码：

int KMP(char* t, char* s) {

	//t为文本串,s为模式串
	int sl = strlen(s);//模式串的长度
	int tl = strlen(t);//文本串的长度
	int i, j;

	//next数组，next数组标记每个模式串的字符匹配失败要返回的位置，所以元素的个数与模式串长度相同
	int* next = (int*)malloc(sizeof(int) * sl);
	if (next == NULL) {
		perror("malloc");
		return -1;
	}
	//建立next数组
	j = -1; i = 0;
	next[0] = -1;//如果不将next值设为-1，那么第一个元素匹配失败时就会回到它自己，这时候我们要将文本串的指针+1，
	//就需要单独的代码来完成这一部分，将next设为-1，就可以同时将两个指针都+1，这和匹配成功的逻辑是相同的
	while (i < sl) {//i是快指针，当它越界说明next建立结束
		//这里的代码逻辑是，建立next数组的过程实际上是模式串的子串中的前后缀匹配过程
		//i始终指向已处理的子串的最后一个元素，从i=1开始，如果i和j指向的元素相同，那么这两个元素刚好是
		//i=2元素的前缀和后缀，所以当i=2匹配失败时，将指针移动到j+1，因为0和1位置的元素已经匹配
		//可以看到i和j始终是同时向后移动的，也就是说，它们始终走过相同的距离，举一个特殊例子来说明这个next建立的原理
		//如果从j=0，i=1位置开始，i和j指向的元素始终相等，那么当i指向最后一个元素时，j指向倒数第二个元素
		//这时，从第一个字符到j-1，从第二个字符到i-1，它们分别是已匹配子串的最长相等前缀和后缀，那么当i匹配失败时
		//显然指针需要移动到j重新比较，这个特殊的例子就说明了i指向位置之前的子串的某个后缀始终是与0到j的前缀相等的
		//并且是最长的，因为只有满足一定的条件i和j才会同时+1
		if (j == -1 || s[i] == s[j]) {//将j的初始值设为-1是为了处理当始终不满足后面的条件时，将next的值设为0
			i++;
			j++;
			next[i] = j;
		}
		else {
			j = next[j];//当i和j位置的元素匹配失败时，由于i之前的元素都已经建立了next值，所以j进行回溯重新开始匹配
		}

	}
	//优化next数组
	//如果模式串中某个元素的next值指向的元素与它相同，那么这个元素匹配失败时，实际上不需要比较next值指向的元素
	//我们可以对next数组进行优化来避免这种情况
	//next[0]依然等于-1
	for (int i = 1; i < sl; i++) {
		if (s[i] == s[next[i]]) {//如果s[i]和该元素的next值指向的元素相同
			//那么将该元素的next值设置为其next值指向元素的next值，由于是从前往后处理的，所以新的next值指向的元素一定不等于它本身
			next[i] = next[next[i]];
		}
	}

	//KMP算法过程
	i = 0; j = 0;
	while (i < tl && j < sl) {
		if (j == -1 || t[i] == s[j]) {//如果需要从模式串的头开始匹配或者对应元素匹配成功
			i++;
			j++;
		}
		else {
			j = next[j];//否则回溯j
		}
	}

	if (j == sl) {
		return i - j;
	}
	return -1;
}