算法设计与分析之递归进阶练习五题

一个不知名大学生,江湖人称菜狗
original author: jacky Li
Email : [email protected]

Time of completion:2023.3.15
Last edited: 2023.3.15

导读:

帮助算法设计初学者快速掌握算法设计,学习递归的思想,使得Quiet明白反反复复、永无直接才是真理!

算法设计与分析之递归进阶练习五题_第1张图片

目录

递归进阶练习

第1关:阿克曼函数

参考代码

第2关:斐波那契数列

参考代码

第3关:青蛙跳台阶问题

参考代码

第4关:猴子吃桃问题

参考代码

第5关:苹果分筐问题

参考代码

作者有言


递归进阶练习

第1关:阿克曼函数

任务描述

本关需要你根据公式来编写一个递归函数的程序,且输出答案。

相关知识

Ackerman函数是双递归函数,它的递归方程是:

算法设计与分析之递归进阶练习五题_第2张图片

编程要求

编写递归函数Acm(n,m)实现如下图所示的Acm函数,其中m、n为正整数。例如:Acm(2,1)=4,Acm(3,3)=16

输入nm两个整数,输出Acm(n,m)。如果n小于0或m小于0,则返回-1。

输入:2 1

输出:4

参考代码

#include 
using namespace std;
int Acm(int n,int m)
{
    if(n == 1 && m == 0) return 2;
    if(n == 0 && m >= 0) return 1;
    if(n >= 2 && m == 0) return n + 2;
    if(n >= 1 && m >= 1) return Acm(Acm(n - 1, m), m - 1);
    if(n < 0 || m < 0) return -1;
}
int main()
{
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    int ans = Acm(n, m);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

第2关:斐波那契数列

任务描述

本关需要你用递归函数实现斐波那契数列。

相关知识

斐波那契数列公式为:

F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)

编程要求

请用递归函数实现斐波那契数列,在主函数中调用该递归函数,输出第n项的值。

效果如下:

输入:3

输出:2

参考代码

#include 
using namespace std;
int F(int n)
{
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 1;
    if(n >= 3) return F(n - 1) + F(n - 2);
}
int main()
{
   int n; cin >> n;
   cout << F(n) << endl;
   return 0;
}

第3关:青蛙跳台阶问题

任务描述

本关任务:一只小青蛙,每次跳台阶,他可以一下跳一个台阶,或者两个台阶,问假设有n个台阶,这只青蛙一共有多种跳的方法。

题目分析

假设小青蛙最后站在第n阶梯,那么它最后一次是怎么跳上来的呢?可以是跳一级上来,也可以是跳两级上来。假设f(n)是小青蛙跳到n个台阶的方法数。

算法设计与分析之递归进阶练习五题_第3张图片

编程要求

根据提示,在右侧编辑器补充代码,计算n个台阶共有多少总跳法。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试,需要输入的台阶数是大于等于1的整数,如果小于等于0,则返回-1。

测试输入:2

预期输出:2

测试输入:5

预期输出:8

参考代码

#include
using namespace std;
int frog(int n)
{
   if(n <= 0) return -1;
   if(n == 1) return 1;
   if(n == 2) return 2;
   if(n >= 3) return frog(n - 1) + frog(n - 2);
}
int main()
{
   int n; cin >> n;
   cout << frog(n) << endl;
   return 0;
}

第4关:猴子吃桃问题

任务描述

猴子第一天摘下若干个桃子,当天吃了一半,后面又多吃一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个。后面每天猴子都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天想再吃时,只剩下一个桃子。问第一天共摘了多少桃子。 如果仍然是这种吃法,第15天再吃时,也是只剩下一个桃子,那第一天摘的桃子数又是多少?

题目分析

  • 可以倒着思考,第15天为最后一天,设桃子数为S(15)
  • 已知S(15)=1,第14天,设为S(14),去掉它的一半多1个就是S(15).
  • 只要根据S(n-1)S(n)的关系,就可以用递归求解得到S(1)

编程要求

根据提示,在右侧编辑器补充代码,求解到第n天想再吃时,只剩下一个桃子,第一天共摘的桃子数。

测试说明

当输入的天数n小于1时,返回-1. 平台会对你编写的代码进行测试:

测试输入:4

预期输出:22

参考代码

#include
using namespace std;
int PeachNumber(int n)
{
    static int sum = 1;
    if(n == 1) return sum;
    else 
    {
        sum = (sum + 1) * 2;
        return PeachNumber(n - 1);
    }
}
int main()
{
    int n; cin >> n;
    if(n < 1) cout << -1 << endl;
    else cout << PeachNumber(n) << endl;
    return 0;
}

第5关:苹果分筐问题

任务描述

本关任务:有n个苹果,现分成k筐,每筐不能为空,有多少种分法? 比如7个苹果成3筐,可以是{1,1,5}, 但这里不考虑顺序,比如我们认为{1,1,5}{1,5,1}{5,1,1}是同一种分法。

一种思路

  1. 考虑第1筐,假设放入i个苹果,它不能大于kn​,因为大于该数,就会产生重复的划分。
  2. 剩下的n-i个苹果,继续放到k-1个筐,它的个数不能多于k−1n−i​,不能少于前一筐个数。
  3. 直到k==1为止。
  • 比如输入 7 3
  • 按该方法第1筐可放1或2
  • 当第1筐放1时,第2筐可以放1或2或3
  • 当第1筐放2时,第2筐只可放2或3
  • ...
    第1筐 第2筐 第3筐
    1 1 5
    1 2 4
    1 3 3
    2 2 3

输入格式

两个整数n,k,(6,中间用单个空格隔开。

输出格式

一个整数,即不同分法。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试:

测试输入:7 3

预期输出:4

参考代码

#include
 using namespace std;
 //n个苹果分k筐,now是当前筐最少几个苹果
 int divideNumber(int n,int k,int now)
 {
    int ans = 0;
    if(k == 1) return 1;
    else
    {
        for(int i = now; i <= (n / k); i ++)
            ans = ans + divideNumber(n - i, k - 1, i);
    }
    return ans;
 }

 int main()
 {
     int n, k, now = 1; cin >> n >> k;
     cout << divideNumber(n, k, now)<< endl;
     return 0;
 }

作者有言

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