算法设计与分析之递归进阶练习五题
一个不知名大学生，江湖人称菜狗
original author: jacky Li
Email : [email protected]Time of completion：2023.3.15
Last edited: 2023.3.15导读：
帮助算法设计初学者快速掌握算法设计，学习递归的思想，使得Quiet明白反反复复、永无直接才是真理！
目录
递归进阶练习
第1关：阿克曼函数
参考代码
第2关：斐波那契数列
参考代码
第3关：青蛙跳台阶问题
参考代码
第4关：猴子吃桃问题
参考代码
第5关：苹果分筐问题
参考代码
作者有言
递归进阶练习
第1关：阿克曼函数
任务描述
本关需要你根据公式来编写一个递归函数的程序，且输出答案。
相关知识
Ackerman函数是双递归函数，它的递归方程是：
编程要求
编写递归函数Acm(n,m)实现如下图所示的Acm函数，其中m、n为正整数。例如：Acm(2,1)=4，Acm(3,3)=16。
输入n和m两个整数，输出Acm(n,m)。如果n小于0或m小于0，则返回-1。
输入：
2 1输出：
4
参考代码
#include
using namespace std;
int Acm(int n,int m)
{
if(n == 1 && m == 0) return 2;
if(n == 0 && m >= 0) return 1;
if(n >= 2 && m == 0) return n + 2;
if(n >= 1 && m >= 1) return Acm(Acm(n - 1, m), m - 1);
if(n < 0 || m < 0) return -1;
}
int main()
{
int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
int ans = Acm(n, m);
printf("%d", ans);
return 0;
}
第2关：斐波那契数列
任务描述
本关需要你用递归函数实现斐波那契数列。
相关知识
斐波那契数列公式为：
F(1)=1，F(2)＝1，F(n)＝F(n-1)+F(n-2)
编程要求
请用递归函数实现斐波那契数列，在主函数中调用该递归函数，输出第n项的值。
效果如下：
输入：
3输出：
2
参考代码
#include
using namespace std;
int F(int n)
{
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 1;
if(n >= 3) return F(n - 1) + F(n - 2);
}
int main()
{
int n; cin >> n;
cout << F(n) << endl;
return 0;
}
第3关：青蛙跳台阶问题
任务描述
本关任务：一只小青蛙，每次跳台阶，他可以一下跳一个台阶，或者两个台阶，问假设有n个台阶，这只青蛙一共有多种跳的方法。
题目分析
假设小青蛙最后站在第n阶梯，那么它最后一次是怎么跳上来的呢？可以是跳一级上来，也可以是跳两级上来。假设f(n)是小青蛙跳到n个台阶的方法数。
编程要求
根据提示，在右侧编辑器补充代码，计算n个台阶共有多少总跳法。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试,需要输入的台阶数是大于等于1的整数，如果小于等于0，则返回-1。
测试输入：
2预期输出：
2测试输入：
5预期输出：
8
参考代码
#include
using namespace std;
int frog(int n)
{
if(n <= 0) return -1;
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
if(n >= 3) return frog(n - 1) + frog(n - 2);
}
int main()
{
int n; cin >> n;
cout << frog(n) << endl;
return 0;
} 第4关：猴子吃桃问题
任务描述
猴子第一天摘下若干个桃子，当天吃了一半，后面又多吃一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。后面每天猴子都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天想再吃时，只剩下一个桃子。问第一天共摘了多少桃子。 如果仍然是这种吃法，第15天再吃时，也是只剩下一个桃子，那第一天摘的桃子数又是多少？
题目分析
- 可以倒着思考，第
15天为最后一天，设桃子数为S(15) - 已知
S(15)=1,第14天,设为S(14),去掉它的一半多1个就是S(15). - 只要根据
S（n-1）和S（n）的关系,就可以用递归求解得到S（1）。
编程要求
根据提示，在右侧编辑器补充代码，求解到第n天想再吃时，只剩下一个桃子,第一天共摘的桃子数。
测试说明
当输入的天数n小于1时，返回-1. 平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：
4预期输出：
22
参考代码
#include
using namespace std;
int PeachNumber(int n)
{
static int sum = 1;
if(n == 1) return sum;
else
{
sum = (sum + 1) * 2;
return PeachNumber(n - 1);
}
}
int main()
{
int n; cin >> n;
if(n < 1) cout << -1 << endl;
else cout << PeachNumber(n) << endl;
return 0;
} 第5关：苹果分筐问题
任务描述
本关任务：有n个苹果，现分成k筐，每筐不能为空，有多少种分法？ 比如7个苹果成3筐，可以是{1,1,5}， 但这里不考虑顺序，比如我们认为{1,1,5}，{1,5,1}和{5,1,1}是同一种分法。
一种思路
- 考虑第1筐，假设放入
i个苹果，它不能大于kn,因为大于该数，就会产生重复的划分。 - 剩下的
n-i个苹果，继续放到k-1个筐，它的个数不能多于k−1n−i，不能少于前一筐个数。 - 直到k==1为止。
- 比如输入 7 3
- 按该方法第1筐可放1或2
- 当第1筐放1时，第2筐可以放1或2或3
- 当第1筐放2时，第2筐只可放2或3
- ...
第1筐 第2筐 第3筐 1 1 5 1 2 4 1 3 3 2 2 3
输入格式
两个整数n,k,(6
输出格式
一个整数，即不同分法。
测试说明
平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：
73预期输出：
4
参考代码
#include
using namespace std;
//n个苹果分k筐，now是当前筐最少几个苹果
int divideNumber(int n,int k,int now)
{
int ans = 0;
if(k == 1) return 1;
else
{
for(int i = now; i <= (n / k); i ++)
ans = ans + divideNumber(n - i, k - 1, i);
}
return ans;
}
int main()
{
int n, k, now = 1; cin >> n >> k;
cout << divideNumber(n, k, now)<< endl;
return 0;
} 作者有言
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