【密码学】ElGamal加密算法原理 以及 例题讲解

目录

  • 前言
  • 1. 原理
  • 2. 例题
    • 2.1 例题一
    • 2.2 例题二

前言

具体的性质:

  • 非对称加密算法
  • 应用于一些技术标准中,如数字签名标准(DSS)、S/MIME 电子邮件标准
  • 算法定义在任何循环群 G 上,安全性取决于 G 上的离散对数难题

1. 原理

主要由三部分组成:密钥生成、加密和解密

可以用这幅图讲解:(用公钥加密,私钥解密):
【密码学】ElGamal加密算法原理 以及 例题讲解_第1张图片

该算法与Difffie-Hellman一样,ElGamal的系统用户共同选择一个素数 q,a 是 q 的素根。

一、密钥生成:(用户A)

  1. 随机生成 整数X (1< X < q - 1)
  2. 计算 公钥Y = a X mod q

可以得到私钥 X,公钥 {q,a,Y}

二、加密:(用户B通过A的公开密钥进行加密)

  1. 发送信息为 整数 M(1 ≤ \leq X ≤ \leq q - 1),以分组密码序列的方式来发送信息,其中每个分块的长度不小于整数 q
  2. 取任意整数 小写k(1 ≤ \leq k ≤ \leq q - 1)
  3. 取一次密钥 大写K :K = ( Y ) k mod q
  4. 整数M 加密成 明文对(C1,C2),C1 = ak mod q ,C2 = KM mod q

三、解密:(用户A恢复密文)

  1. 计算密钥 大写K :K = (C1)X mod q
  2. 计算 整数M,M = (C2K-1) mod q

至于解密的式子 是这样生成:

式子一:
K = ( Y ) k mod q
K = ( a X mod q ) k mod q
K = a kX mod q
K = (C1)X mod q


式子二:
因为 C2 = KM mod q
所以 (C2K-1) mod q = KMK-1 mod q = M mod q = M

2. 例题

2.1 例题一

题目: 已知素数q为19,素根有 {2,3,10,13,14,15} ,此处 选择a = 10。

答案:

一、秘钥生成:(用户A)

  1. 选择X = 5
  2. 计算 Y = a X mod q = 10 5 mod 19 = 3

A用户的 私钥 为5, 公钥为 {q,a,Y} = {19,10,3}

二、加密:(用户B通过A的公开密钥进行加密)

  1. 发送消息17,想选择 小写k = 6
  2. 计算 大写K :K = ( Y ) k mod q = 36 mod 19 = 729 mod 19 = 7
  3. 密文 C1 = ak mod q = 106 mod 1 = 11 ,C2 = KM mod q = 7 x 17 mod 19 = 119 mod 19 =5
  4. 发送密文 M = (11,5)

三、解密:(用户A恢复密文)

  1. 计算 大写K ,K = (C1)X mod q = 115 mod 19 = 7
  2. K-1 为 7-1 mod 19 = 11
  3. 最终 M = (C2K-1) mod q = 5 x 11 mod 19 = 55 mod 19 = 17

2.2 例题二

题目: 素数 37,取素数根,最小为2

答案:

过程与上面类似,此处讲解下具体步骤

一、秘钥生成:(用户A)
随机取一个数,取X 为 5,Y = 2 5 mod 37 = 32

二、加密:(用户B通过A的公开密钥进行加密)
发送29消息,取 小写k 为 7
计算出的 大写K 为 19
C1 = 17,C2 = 33
M = (17,33)

三、解密:(用户A恢复密文)
大写K为 19
M 为 29

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