曲线平滑算法：三次Hermite曲线生成

目录

 1.三次Hermite曲线的参数方程

2. 三次Hermite曲线的绘制

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         Hermite曲线是通过给定曲线的两个端点的位置矢量、以及两个端点处的切线矢量、来描述曲线的，如图1所示。这里先对Hermite曲线进行数学公式推导，然后讲述如何绘制Hermite曲线。（这里是算法代码）

图1 Hermite曲线

 1.三次Hermite曲线的参数方程

        三维空间中的自由曲线用三次参数方程表示可以用以下的形式：

或者：

其中，参数t的取值范围是，这是归一化坐标，表示从端点1到端点2的的相对距离。

将以上参数方程改写为矩阵形式为：

若令

则

对参数t的一阶导数得：

        假定已知曲线的两个端点的位置矢量、以及两个端点处的切线矢量、，如图1所示。注意位置矢量和切线矢量都有x,y等分量。这四个量实际上对应于将t=0好t=1代入、得到的结果，即：

用矩阵方程表示为：

则

令

即为Hermite矩阵，为常数，为Hermite几何矢量。

则

于是曲线又可以表示为：

因为上面的和都是三维空间的矢量，有x,y,z三个分量：

于是将曲线Q展开成分量形式如下:

        显然，只要给定,就可以在的范围内求出，形成曲线上点的轨迹。称之为Hermite基函数。对基函数进行进一步展开，得到四个分量：

于是曲线上的轨迹点，又可以通过以下公式表示：

2. 三次Hermite曲线的绘制

       这里是代码下载链接：Hermite曲线绘制代码

        三次Hermite曲线的绘制，需要四个参数进行控制，分别是两个端点坐标和两个端点处的切线矢量，比如给定两个点的三维坐标P0(1,4,0）、P1(2,6,0）,以及两个端点的切线矢量R0(1,-1,0)、R1(1,-1,0)，其绘制的Hermite曲线如下：

图2 两点三次Hermite曲线

         对于多点Hermite平滑，则是从头到尾，逐步取相邻的两个点，分别求出两点之间的Hermite曲线轨迹，比如，6个散点的Hermite曲线绘制的图像如下：

图3 6点三次Hermite曲线

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