【区块链课】RSA算法概论基础知识课件整理

① 互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系。

不是质数也可以构成互质关系。（8不是质数，9不是质数。但8和9互质。）

②欧拉函数

与 n 构成互质关系且小于 n 的正整数的个数，称为n的欧拉函数，记作φ(n)。

1.非质数：

与8形成互质关系且小于8的数有1、3、5、7。 这1，3，5，7共有4个数，称为8的欧拉函数，记作φ(8)=4。

2.质数：

如果n是质数，则 φ(n)=n-1。（比自己小都互斥）

3.

如果n可以分解成两个互质关系的整数之积，则φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)φ(p2)

例：φ(15)=φ(3×5)=φ(3)×φ(5)=2×4=8

③模反元素

如果两个正整数 a 和 n 互质，一定可以求到整数 b， 使得（ab)mod n=1即（ab)÷n 余1，或ab-1=kn ，则 b是a的"模反元素"。

两个正整数 a 和 n 互质，如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

 密钥生成步骤

1.随机选择两个不相等的质数p和q。

        例：p=61        q=53。

2.计算p和q的乘积n，

        n=pxq= 61×53 = 3233  

3.计算欧拉函数φ(n).

         φ(3233) = φ(61)xφ(53)=60x52=3120

4.随机选择一个整数e

        e符合范围：（1）1

                                （2）e和φ(n)互质

        e=17

5.计算e对于φ(n)的模反元素d。

        因为        e=17，φ(n)=3120

        所以方程        17d-3120k=1

        取一组        （d，k）=（2753,-15）

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现有6样

两个随机不相等质数        p=61，q=53。

p和q的乘积                      n=3233

欧拉函数φ(n)                   φ(3233)=3120

随机整数e                        e=17

模反元素d                        d=2753

6.将（乘积n、随机整数e），即（n，e）封装成公钥

   将（乘积n、模反元素d），即（n，d）封装成私钥 

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【加密函数】：c=m^emod n，用接收方的公钥 (n,e)

【解密函数】: m= cd mod n,用接收方私钥(n, d) 进行解密   

7.加密函数c=m^e mod n，用到公钥（n，e）

        m是要发送方想发送的信息，c是发送方加密的信息

        c=65^17mod3233=2790

8.解密函数m= c^d mod n，用到私钥(n, d)

        接收方接收到 加密信息c，进行解密

        m=2790^2753 mod 3233= 65

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例题：