softmax函数

输出层的设计

神经网络可以用在分类问题和回归问题上，不过需要根据情况改变输出层的激活函数。一般而言，回归问题用恒等函数，分类问题用softmax函数。机器学习的问题大致可以分为分类问题和回归问题。分类问题是数据属于哪一个类别的问题。比如，区分图像中的人是男性还是女性的问题就是分类问题。而回归问题是根据某个输入预测一个（连续的）数值的问题。比如，根据一个人的图像预测这个人的体重的问题就是回归问题（类似“57.4kg”这样的预测）。

恒等函数

恒等函数会将输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动地直接输出。因此，在输出层使用恒等函数时，输入信号会原封不动地被输出。另外，将恒等函数的处理过程用之前的神经网络图来表示的话，则如下图所示：

和前面介绍的隐藏层的激活函数一样，恒等函数进行的转换处理可以用一根箭头来表示。

softmax函数

softmax函数可以用下面的表达式表示：

exp(x)是表示e^x的指数函数（e是纳皮尔常数2.7182 …）。上式表示假设输出层共有n个神经元，计算第k个神经元的输出y_k。softmax函数的分子是输入信号a_k的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。

从图可以看出，softmax函数的输出通过箭头与所有的输入信号相连。这是因为，输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响。python实现softmax函数如下：

def softmax(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

softmax函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大，会出现溢出问题。e¹⁰⁰会变成一个后面有40多个0的超大值，e¹⁰⁰⁰的结果会返回一个表示无穷大的inf。如果在这些超大值之间进行除法运算，结果会出现“不确定”的情况。所以我们需要对其进行改进：

在进行softmax的指数函数的运算时，加上（或者减去）某个常数并不会改变运算的结果。这里的C’可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。一般通过减去输入信号中的最大值实现softmax函数。

如上所示，softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且，softmax函数的输出值的总和是1。输出总和为1是softmax函数的一个重要性质。正因为有了这个性质，我们才可以把softmax函数的输出解释为“概率”。

这里需要注意的是，即便使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数（y = exp(x)）是单调递增函数。实际上，上例中a的各元素的大小关系和y的各元素的大小关系并没有改变。一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即便使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会变。因此，神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。在实际的问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会被省略。python实现如下：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c)  # 溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y


x = np.arange(1, 11, 1)
y = softmax(x)
plt.ylim(0, 1)  # 指定y轴的范围
plt.plot(x, y)
plt.show()