左手Python 右手R —— 最大公约数和最小公倍数

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前言

  此专栏为python与R语言对比学习的文章；以通俗易懂的小实验，带领大家深入浅出的理解两种语言的基本语法，并用以实际场景！感谢大家的关注，希望对大家有所帮助。
  “博观而约取，厚积而薄发！”谨以此言，望诸君共勉

  本文针对数学问题“最大公约数、最小公倍数”进行讲解。具体的项目介绍见下文。

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1、 最大公约数

1.1 约数

  在讲述最大公约数之前我们先来认识一下什么是约数。约数(又称因数),整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。因此不能孤立地说某个整数是约数。
  如：$4=1\ast 4=2\ast 2【则称4、2、1是4的约数】$
    $6=1\ast 6=2\ast 3【则称6、3、2、1是6的约数】$
    $..................$
    注：一个数的约数必然包括1及其本身。

1.2 最大公约数

  如上展示的例子中，如果一个数c既是数a的约数，又是数b的约数，那么c叫做a与b的公约数。两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公约数。
  如：$在上面的例子中，4和6的公约数有：1、2。$
                $4和6的最大公约数是2。$

1.3 求解方法

  在知道约数及最大公约数的基本概念之后，我们进行求解，找出任意两个数的最大公约数：（此处展示常用的两种解法）
例： 求解 12 和 18 的最大公约数。

  枚举法： $12的约数有12、6、4、3、2、1$
      $18的约数有18、9、6、3、2、1$
      $所以18和12的最大约数是6$

  短除法： 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。

  程序求解： 采取短除法的逆向思维，短除法从最小的公质数开始，此法能快速找到除了1的最小公约数，反其道而行，如若我们重较小数开始递减，满足能同时被 x y 整除；则该数就是最大公约数。

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2、 最小公倍数

2.1 倍数

  一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。与约数不同的是，一个数可以有无数个倍数，而约数是有限的，因此无法通过枚举法完全展示出一个数的倍数。
  如：$15/5=3【则称15是5的3倍、或15是3的5倍】$

2.2 最小公倍数

  两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。倍数可以有无数多个，也可以无限大，因此多个整数之间只有最小公倍数。
  如： $12的倍数有0、12、24、36、48、60、\mathrm{72......}$
     $18的倍数有0、18、36、54、72、90、\mathrm{108......}$
     $则称12和18的最小公倍数为36$

2.3 求解方法

  在知道倍数及最小公倍数的基本概念之后，我们进行求解，找出任意两个数的最小公倍数：（此处展示常用的两种解法）任然是求12和18的最小公倍数。
  短除法： 与上面一样的算法，只是在最后的结果时把所有的除数和余数相乘。

  公式法： 所谓公式法(最大公约数与最小公倍数关系)就是对于任意两个自然数$a、b$，只要先求出这两个数的最大公约数后，利用公式$[a，b]\ast (a，b)=a\ast b$即可求出最小公倍数$[a，b]=a\ast b/(a，b)$ ，也即是两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数。这里可以取两个质数进行验证
$$3和5的最大公约数为1则有最小公倍数=3\ast 5/1=15$$

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3、程序实现

程序仅展示公式法求最小公倍数

3.1 python 代码实现

x = int(input('x = '))
y = int(input('y = '))

# 如果 x 大于 y 就交换 x y 的值
if x > y:
    trmp = y
    y = x
    x = temp

# 从两个数中较小的数开始做递减循环
for fac in range(x,0,-1):
    if x % fac == 0 and y % fac == 0 :
        print('{}和{}的最大公约数是：{}'.format(x,y,fac))
        print('{}和{}的最小公倍数是：{}'.format(x,y,x*y//fac))
        break

3.2 R语言代码实现

math_diy <- function(){
  
  x <- as.integer(readline("X = "))
  y <- as.integer(readline("y = "))
  
  if(x > y){
    temp <- x
    x <- y
    y <- temp
  }
  
  for (i in x:-1) {
    if((x %% i== 0 & y %% i == 0)){
      cat("最大公约数为:",i)
      cat("\n最小公倍数为:",x*y%/%i)
      break
    }
  }
}
test_5 <- function(){
  print("请输入需要计算的数值")
  math_diy()
}
test_5()

小结

  本次仍然是对条件、循环、及自定函数的混合使用；
  R语言看起来比较复杂，无非是都嵌套在了自定函数里，如有问题，可以私信哦！
  任何问题只要了解了本质，都能通过代码实现；大家可以自己练习一下。

  这是左手Python右手R系列的第3片文章，希望大家能喜欢这个系列。

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