GNN笔记1-3——图信号处理

图和图移位算子

• 图被定义为三元组集合： ：

节点 ： 表示 个不同 label 的集合；

边 ：有序对 表示 可以影响 ；

权重 ： 是 上的一个数字，表示 影响 的程度。

• 有向图与无向图

在无向图中， 等价于 ，且 ，在有向图中 是从 指向 的箭头，权重 不一定等于 。

• 带权图与无权图

对于无权图若边之间存在连接，通常认为 的权重是单位 “1”，即 ，而带权图上的权重可以根据需要定义为任意值。

• 图的矩阵表示

邻接矩阵： , for all ，对于无向图， ；

节点的度：节点 的度是其所有邻接点的权重之和，即 ；

度矩阵：

• 拉普拉斯矩阵

Laplace 矩阵定义为： ；

归一化的邻接矩阵： ，即 ；

归一化的 Laplace 矩阵： 。

归一化的原因：1. Express weights relative to the nodes’ degrees ; 2. 算法和计算上的考量。

• 图移位算子(Graph Shift Operators)

图移位算子 可以是图的任何一种矩阵表示，如 、 、 、 等等。

图上的信号

图信号是我们在图上进行信号处理时的对象；

考虑一个有 个节点的图 和其上定义的图移位算子 ，那么一个图信号就是一个**向量 **，其中分量 是和图节点 有关的量。为了强调图是信号固有的，可以把信号写成对的形式 ；

图移位算子 与信号 的乘法表示信号在图上的扩散，扩散后信号 ，分量 ，权重越大，扩散输出贡献越大；

信号扩散序列 ，其中 ，
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信号的扩散即信号在图上的传播，扩散一次该信息将被传播到其单跳邻居， 次则传播到 跳邻居。

图卷积滤波器

图卷积滤波器是图信号线性处理的工具。给定图 和移位算子 ，以及一系列系数 ，则图上的卷积滤波器是 的多项式序列，它由 确定：

滤波器作用到图信号 上：

称 是滤波器 与信号 的图卷积。

实际中 不会取到无穷，图卷积的输出 ，图卷积聚集了从局部到全局的信息，是扩散序列元素的线性组合。
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时序卷积是图卷积的特例

时序卷积输出：

image.png

时序信号可表示为线图上的图信号 ：
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其中 是线图的邻接矩阵：

image-20210416132337178.png

于是时间序列能够表示为作用在初始信号 上的 的多项式：

卷积运算是输入信号移位的线性组合：

image-20210416132438388.png

如果设 为任意图移位算子，则可以恢复到图卷积，因此图卷积也可以说是时序卷积的推广：

image.png

其中 的含义是信号 在图上经过 跳传播后的信号。

图傅里叶变换

图形傅里叶变换是分析图信息处理的工具。

这里分析的图是对称图(通常为无向图)，即 。设 为 的 个特征值， 为对应的 个单位正交特征向量组， ，令 ， ，于是：

图傅里叶变换 ：给定图移位算子 ，图上信号 的傅里叶变换：

图上信号 的傅里叶变换实际上就是 在 特征向量空间的投影运算，称 为信号 的频域表示。

图傅里叶逆变换：给定图移位算子 ，频域信号 的逆傅里叶变换：

显然 。

图滤波器的频率响应(定理)：图卷积滤波器 ，图信号 的滤波表示 ，则原信号 的傅里叶变换 和卷积输出信号 的傅里叶变换 之间的关系是：

证明： ，则 ，因此滤波输出：

两边用 作用：

在图频域，滤波器是对角矩阵 在系数 下的多项式，这样一来原时域信号 上的卷积运算在傅里叶变换下转换为了频域中的点积运算：

其中：

将 定义为图滤波器的频域响应，可以看到频域响应多项式的系数与图滤波器系数相同。需要特别指出的是，频域响应与图是无关的(频域响应不依赖于特定的图)，因此在图滤波器中，图的作用仅仅是确定实例化响应的特征值，当给定一个图，响应在 上被实例化，而 只是个单变量解析函数，它由滤波系数决定。