数据结构初阶--算法的时间复杂度与空间复杂度

前言

本篇博客开始，我们就将正式进入到数据结构初阶的内容讲解了。

数据结构与算法

什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
比如我们生活当中常使用的微信，在一个微信群里会有一个成员的列表，我们可以对这个列表里的成员进行增删查改的操作。那么实际上数据结构就是在内存中管理这些数据的一种方式。

什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
这里有必要提一下，在校园招聘阶段的笔试中，算法和数据结构是作为重点考察的。所以以后想要拿到一个好的offer，算法和数据结构这一块知识是必须要精通的。

算法效率

思考：我们如何来衡量一个算法的好坏呢？
比我们来看这样一个通过递归实现的斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

乍一看，我们感觉用递归的方式书写的代码非常的简洁，但是这样就程序运行起来更快吗？显然并不是。那么我们该通过怎样的标准来衡量一个算法的好坏呢？

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

我们在做题过程中，经常会看到题目中给出的关于时间，空间复杂度的限制要求，所以我们要通过题目给出的限制尽量优化我们的代码。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。

我们来看下面这段段代码

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

我们用一个N的函数式来表示程序的执行次数，即count的值：
F(N) = N×N + 2×N + 10
我们带入不同的N到式子里去算出count的值，我们发现，随着N的值不断变大，2×N和常数10对于结果的影响越来越小，实际上我们计算时间复杂度的时候，其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

在了解了大O阶的推导方法后，我们再返回去看前面那段代码的空间复杂度，即为O(N²)。

我们再来看几个例子：

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

很容易得出时间复杂度为O(N²)

//二分查找
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

因为数据个数为N，一次查找筛去一半的数据，即还剩N/2个数据，经过一次次的筛选，数据最后剩下1个，那么查找的次数可以理解为N除以若干个2，最后得1，那么while循环执行的次数就是N除以2的次数，我们只需计算N除以了多少次2最终等于1即可，所以时间复杂度为O(log2N).

我们在来看下文章一开始提到的斐波那契数列的时间复杂度是多少

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

答案是O(2^N),其实通过画图我们可以发现，

递归了几次，就调用了2的N次方次函数，所以估算后答案就为O(2^N)

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用额外存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

我们还是来举几个例子：
看下面这段代码：

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

因为每次调用这个函数时，都是开辟常数大小的空间，且每次调用都是共用的同一块空间，所以空间复杂度为O(N).
我们再看一个

long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

由于代码中明确写出了用malloc函数开辟了N+1个字节的空间，所以空间复杂度为O(N).

我们再来看一个较难的求递归实现斐波那契数列的空间复杂度。

long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

可能我们一开始分析方法可能和分析时间复杂度一样，每次调用开辟2的N次方大小的空间，但是实际上并不是这样的，我们要先了解递归的实现逻辑。
如图

假设N为5，先沿Fib(5)到Fib(2)一路创建栈帧，然后再一路返回销毁栈帧，到Fib(3)时在调用Fib(2)时创建的栈帧实际上和Fib(2)是同一块栈帧，也可以抽象理解为每一横排调用时创建的栈帧都是同一块，所以空间复杂度就为O(N).

我们可以通过写一个函数调用的代码再来加深一下印象

void Func1()
{
	int a = 0;
	printf("%p\n", &a);
}
void Func2()
{
	int b = 0;
	printf("%p\n", &b);
}
int main()
{
	Func1();
	Func2();
	return 0;
}

打印结果如图4

我们发现每次调用函数开辟的都是同一块栈帧。

以上就是关于时间复杂度和空间复杂度的全部内容，如有出入，欢迎指正。