【线性代数】矩阵特征值的快速求法

矩阵特征值的快速求法

本文讨论3阶矩阵的特征值的快速求法。

分为速写特征多项式和速解方程两部分。

速写特征多项式

不妨令：
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right] A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​
其特征多项式为：
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 λ − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda-a_{33} \end{array}\right| ∣λE−A∣= ​λ−a11​−a21​−a31​​−a12​λ−a22​−a32​​−a13​−a23​λ−a33​​ ​
直接展开可得：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|={\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+k\lambda -|A|$$
即：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|={\lambda }^3-tr(A)\cdot {\lambda }^2+k\lambda -|A|$$
此处的：
$$k=(a_{11}{a}_{22}+a_{11}{a}_{33}+a_{22}{a}_{33})-(a_{12}{a}_{21}+a_{13}{a}_{31}+a_{32}{a}_{23})$$
即：主对角错乘$-$对称位置相乘。

例1

求下列矩阵的特征多项式
A = [ 2 − 2 0 − 2 1 − 2 0 − 2 0 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right] A= ​2−20​−21−2​0−20​ ​
[解析]：显然$|A|=8,tr(A)=2+1+0=3$

注意$k=(2\times 1+0+0)-[(-2\times (-2)+0+(-2)\times (-2))]=2-8=-6$

因此特征多项式为：$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|={\lambda }^3-3{\lambda }^2-6\lambda -8$

速求方程

• 猜根法

对于三次方程，第一步都需要猜根法，即若$f(\lambda )$满足$f({\lambda }_0)=0$，则有因式$(\lambda -{\lambda }_0)$。

其次，三次方程韦达定理，即：

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(a\ne 0)$的三个根满足：
$$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$$
对于我们计算的：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|={\lambda }^3-tr(A)\cdot {\lambda }^2+k\lambda -|A|$$
显然可知：
$${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=|A|$$
因此猜所有$|A|$的因子即可。

• 速写二次因式

例2

求：$f(x)=x^3-6x^2+3x+2=0$的解

[解析]：注意到$f(1)=0$

分解为：$(x-1)(二次因式)$

二次因式如何确定？其实很简单。

注意到：三次项系数为$1$，因此二次因式的二次项一定为$x^2$

注意到：常数项为$2$，因此二次因式的常数项一定为$-2$，因为这样才有$(-2)\times (-1)=2$

此时已经是：$x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2+bx-2)$

那么如何确定一次项呢？其实很简单，有两种思路：

不要展开，只看结果的二次项，是$-6x^2$，所以$b{x}^2-x^2=-6x^2$

那么$b=-5$，所以分解为：$x^3-6x^2+3x+2=(x-1)(x^2-5x-2)$

也可以只看结果的一次项，是$3x$，所以：$(-1)\times (bx)-2x=3$

依然得出：$b=-5$

看到某考研老师还在用多项式除法计算这个方程的解，实在太过复杂。

之前笔者做高中数学的培训，跟高中学生讲解三次方程的求法就是采用上述方法，不知道为什么很多书还在使用多项式除法。

综合应用

步骤如下：

[step1]：迅速求出$|A|,k,tr(A)$速写特征多项式

[step2]：猜根分解因式

例3

虽然本例比较特殊，上三角行列式的特征值就是主对角线元素，但还是可以作为练习。

求下列矩阵的特征值：
A = [ 1 1 1 0 2 2 0 0 3 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] A= ​100​120​123​ ​
[解答]：显然$tr(A)=6，|A|=6,k=(2+3+6)-0=11$

因此特征多项式为：$f(\lambda )={\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6$

观察得$\lambda =1$是根，$f(\lambda )={\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6=(\lambda -1)({\lambda }^2+b\lambda +6)$

观察结果的二次项系数：$-{\lambda }^2+b{\lambda }^2=-6$

因此$b=-5$

分解为：
$$
\begin{aligned}
f(\lambda)=\lambda^3-6\lambda2+11\lambda-6&=(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+6)\
&=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)

\end{aligned}
$$
因此特征值为：$\lambda =1,2,3$