相机模型

题目描述：
相机模型有哪些参数，写出三维空间点到图像坐标投影公式。镜头畸变系数有哪几种，对应畸变矫正的公式表达？
答案

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参考资料：

相机成像的过程实际是将真实的三维空间中的三维点映射到成像平面（二维空间）过程，可以简单的使用小孔成像模型来描述该过程。（小孔成像就是将相机坐标系中三维点变换到成像平面中的图像坐标系中的二维点）

• 小孔成像模型：
  首先定义两个坐标系
  1. 相机坐标系（三维坐标系）：相机的中心被称为焦点或者光心，以焦点为原点和坐标轴自由组成
  2. 图像坐标系（二维坐标系）：成像平面中，以成像平面的中心为原点和坐标轴组成。

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假设，三维空间中点，其在相机坐标系中的坐标是，
其像点（在成像平面中的点），在图像坐标系中的坐标是，
由上图知道，轴是互相平行的，因此像点在相机坐标系中的的平面的坐标也应该是，参考资料里面说像点在相机坐标系中的坐标是（其中是焦点到成像平面之间的距离，被称为焦距）

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根据相似三角形的相似关系，可以得到如下公式：

将上面公式整理后得到：

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有了此公式可以推导出更详细的小孔相机模型的参数（内参数，外参数）。
在推导相机的内参数和外参数前，需要先了解下齐次坐标的概念

• 齐次坐标

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• 内参数

相机的内参数由下面的两部分组成：

1. 射影变换本身的参数，相机的焦点到成像平面的距离也就是焦距。
2. 从成像平面坐标系到像素坐标系的变换。上面推导中的像点坐标是成像平面坐标系下，以成像平面的中心为原点。
   而实际像素点的表示方法是以像素来描述，坐标原点通常是图像的左上角，X轴沿着水平方向向左，Y轴竖直向下。

像素是一个矩形块，假设其水平和竖直方向的长度分别为，所以像素坐标和成像平面坐标之间，相差一个缩放和原点平移。

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因此相机的内参数矩阵k为：

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K有4个未知数和相机的构造相关，fx,fy和相机的焦距，像素的大小有关；cx,cy是平移的距离，和相机成像平面的大小有关。

• 外参数

通过上面的推导，知道了相机成像的过程
其中，是图像中像点的像素坐标，K是相机的内参数矩阵，P是相机坐标系下的三维带你坐标。

然而，相机坐标系不是一个“稳定”的坐标系，其会随着相机的移动而改变坐标的原点和各个坐标轴的方向。

因此需要引进一个稳定不变的坐标系：世界坐标系。
记是在相机坐标系的坐标，是其在世界坐标系下的坐标，可以使用一个旋转矩阵和一个平移向量，将变为。

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因此得到相机的外参数T：

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参考资料：
https://www.cnblogs.com/wangguchangqing/p/8126333.html
https://blog.csdn.net/weixin_43283397/article/details/108092964