行列式与矩阵

说明：本公式只针对在二维或三通道的计算机视觉中所遇到的问题，不代表传统意义上数学知识点范围。

行列式

行列式概念:

矩阵的行列式，称之为det，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的标量。本质上是一个数。

1：二阶行列式计算

2：三阶行列式计算

3：高阶行列式计算:

高阶行列式计算比较复杂。对于三通道未进行压缩的图像而言，描述该图像的矩阵所计算的det甚至手动计算是几乎不可能的，故在这里不再赘述。

4：特殊形式行列式计算:

对角行列式：

上三角和下三角行列式：

5：行列式性质

（1）：行列式与它的转置行列式相同
（2）：互换行列式两行（列），行列式变号
（3）：行列式的某一行（列）中所有元素都乘于同一个数k，等于用k乘于该行列式
（4）：行列式如果有两行（列）成比列，则该行列式为零
（5）：若行列式的某一行（列）的所有元素都是两数之和，则等于对应的两个行列式之和
（6）：行列式的某一行（列）的各元素乘于同一个倍数然后加到另一行（列）所对应的元素上去，行列式不变
推论：
（1）：若行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零
（2）：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外

矩阵

矩阵定义：

由mxn个数a_ij（i=1,2,…,m；j=1,2,…n）排成的m行n列数表

1：特殊矩阵

（1）：行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵
（2）：只有一行的矩阵称为行矩阵
（3）：只有一列的矩阵称为列矩阵
（4）：元素全都是零的矩阵称为零矩阵。可记为O
（5）：只有在对角线上存在非零元素的矩阵可称为对角阵。可记为

特别地，对角元素均为1的方阵称之为单位阵，可记为

2：矩阵加减法

（默认进行运算的矩阵为同型矩阵）

运算律：

3：数乘矩阵

（默认进行运算的矩阵为同型矩阵）

运算律：

4：矩阵乘法

定义：设 $$A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$$$$B=(b_{ij}{)}_{s\times n}$$那么规定矩阵A于矩阵B的乘积是一个m x n的矩阵$$C=(c_{ij})$$其中$$\begin{gathered} c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{is}{b}_{sj} \\ =\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,...m;j=1,2,...n) \end{gathered}$$

运算律：

5：矩阵的转置

定义：

把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作：

性质：

6：矩阵的初等变换

（1）：交换矩阵的任意两行
（2）：用一个非零的标量乘于任意一行
（3）：将任意一行的数倍加到另一行去

初等变换的目的是为了把一个矩阵化成简约矩阵的形式

7：简约矩阵

（1）：对所有的非零行，左边第一个元素称为首元，为1
（2）：所有的非零行都位于零行的前面，也就是说所有的零行位于矩阵的底部
（3）：如果某一行的首元位于第j列，则其它行的第j列不存在非零元素（其他行的第j列元素都为零）

8：矩阵的秩

矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数