线性筛（欧拉筛）——算法解析

算法简介：

欧拉筛是一个能够做到$O(n)$的时间复杂度，也就是线性的质数筛法，是目前性能最优秀的质数筛法。在很多算法和数据结构题目中都有大量的应用，是一个十分基础的工具。对于一个频繁使用的工具，我们从原理上掌握它是非常有必要的。

原理分析：

1.核心代码如下所示：

for(ll i=2;i<=Max;i++)
{
	if(!vis[i])
		prime[++count1]=i;
	for(ll j=1;j<=count1 && i*prime[j]<=Max;j++)
	{
    	vis[i*prime[j]]=true;
		if(i%prime[j]==0)
			break;
	}
}

2.算法的特点就是每个数只会被自己的最小质因数筛过一次，所以由此保证了线性的时间复杂度。
3.因为prime中素数是递增的，所以如果i%prime[j]!=0代表i的最小质因数还没有找到，即i的最小质因数大于prime[j]。也就是说prime[j]就是i*prime[j]的最小质因数，于是i*prime[j]被它的最小质因数筛掉了。
4.如果当i%prime[j]==0时，代表i的最小质因数是prime[j]，那么i*prime[j+k](k>0)这个合数的最小质因数就不是prime[j+k]而是prime[j]了。所以i*prime[j+k]应该被prime[j]筛掉，而不是后续的prime[j+k]。于是在此时break。
5.综上所述达到了每个数仅筛一次的效果，时间复杂度$O(n)$。

正解代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define Max 1000000

using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[100010],count1=0;
bool vis[Max+10];
void oula()
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(ll i=2;i<=Max;i++)
	{
        if(!vis[i])
			prime[++count1]=i;
        for(ll j=1;j<=count1 && i*prime[j]<=Max;j++)
		{
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
				break;
        }
    }
}
int main()
{
	oula();
	for(ll i=1;i<=100;i++)
		printf("%lld ",prime[i]);
	
	return 0;
}