最长上升子序列长度(LIS)-O(nlogn)算法

 此前在动态规划一讲：动态规划(3)-最长递增子序列 曾说过此问题，当前是的双重循环是O(n^2)的复杂度。

后来在网上看到说LIS问题有O(nlogn)的算法，于是拿来小研究了一下。

这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。

这个算法的具体操作如下(by RyanWang):

开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。

这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的”潜力”增大了。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7

栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

用该算法完成POJ2533的具体代码如下:

 

#include <iostream>
#define SIZE 1001

using namespace std;

int main()
{
    int i, j, n, top, temp;
    int stack[SIZE];
    cin >> n;

    top = 0;
    /* 第一个元素可能为0 */
    stack[0] = -1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> temp;
        /* 比栈顶元素大数就入栈 */
        if (temp > stack[top])
        {
            stack[++top] = temp;
        }
        else
        {
            int low = 1, high = top;
            int mid;
            /* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
            while(low <= high)
            {
                mid = (low + high) / 2;
                if (temp > stack[mid])
                {
                    low = mid + 1;
                }
                else
                {
                    high = mid - 1;
                }
            }
            /* 用temp替换 */
            stack[low] = temp;
        }
    }

    /* 最长序列数就是栈的大小 */
    cout << top << endl;

    //system("pause");
    return 0;
}

 

这其中用到了二分查找第一个大于等于的，其实C++里面的有一个函数可用代替二分。

lower_bound 函数

下面是使用lower_bound优化最长上升子序列。由于长度相同的上升子序列只需要保存结尾最小的那个，而长度递增时，结尾数字的大小也是递增的。最长上升子序列就是找出比他大的第一个数。前面的数都比他小，所以他和这个数的长度相同。然后由于他比较然后小，更新找到的那个值。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>

using namespace std;

int num[10]={3,6,3,2,4,6,7,5,4,3};

const int INF=0x3f3f3f3f;
int l=10;
int g[100];
int d[100];
int main()
{
	fill(g,g+l,INF);
	int max_=-1;
	for(int i=0;i<l;i++)
	{
		int j=lower_bound(g,g+l,num[i])-g;
		d[i]=j+1;
		if(max_<d[i])
			max_=d[i];
		g[j]=num[i];
	}
	printf("%d\n",max_);
	return 0;
}
 此前在动态规划一讲：动态规划(3)-最长递增子序列 曾说过此问题，当前是的双重循环是O(n^2)的复杂度。

后来在网上看到说LIS问题有O(nlogn)的算法，于是拿来小研究了一下。

这个算法其实已经不是DP了，有点像贪心。至于复杂度降低其实是因为这个算法里面用到了二分搜索。本来有N个数要处理是O(n)，每次计算要查找N次还是O(n)，一共就是O(n^2)；现在搜索换成了O(logn)的二分搜索，总的复杂度就变为O(nlogn)了。

这个算法的具体操作如下(by RyanWang):

开一个栈，每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较，如果temp > top 则将temp入栈；如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数，并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。

这也是很好理解的，对于x和y，如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y]，此时的最长序列长度没有改变但序列Q的”潜力”增大了。

举例：原序列为1，5，8，3，6，7

栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。

用该算法完成POJ2533的具体代码如下:

 

#include <iostream>
#define SIZE 1001

using namespace std;

int main()
{
    int i, j, n, top, temp;
    int stack[SIZE];
    cin >> n;

    top = 0;
    /* 第一个元素可能为0 */
    stack[0] = -1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> temp;
        /* 比栈顶元素大数就入栈 */
        if (temp > stack[top])
        {
            stack[++top] = temp;
        }
        else
        {
            int low = 1, high = top;
            int mid;
            /* 二分检索栈中比temp大的第一个数 */
            while(low <= high)
            {
                mid = (low + high) / 2;
                if (temp > stack[mid])
                {
                    low = mid + 1;
                }
                else
                {
                    high = mid - 1;
                }
            }
            /* 用temp替换 */
            stack[low] = temp;
        }
    }

    /* 最长序列数就是栈的大小 */
    cout << top << endl;

    //system("pause");
    return 0;
}