《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)

引言

笔者一直觉得在计算机这一学科的学习中,离散数学是极为重要的知识基础。离散化的思想体现在计算机学科的方方面面。举例来说,“像素”这一概念是我们日常生活中耳熟能详的,将一个图片拆分成一个个极微小的像素,就是利用了离散化的思想。为了帮助大家打好离散数学的思维基础,笔者新开一个专栏,对《离散数学导学》这本书做一个精炼,使其更易理解。这篇文章是这个专栏的第三部分,主要介绍6-7章。
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正文

第六章 类型集合论

类型的需要

一个含有不同类型的集合是没有意义的。我们规定,一个集合中的元素一定要是同一类型的。
空集也含有类型,一个自然数类型的空集和一个集合类型的空集是不一样的。

集合描述

一个集合描述以如下形式出现:
在这里插入图片描述

  1. 声明:声明元素属于哪一类型(实际不一定是这个集合中的元素)
  2. 谓词:起到过滤器的作用,不满足谓词要求的元素不包含的集合内
  3. 项目:集合中元素的输出方式。

我们用一个例子说明一下:
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其中,第一条红线是声明p是people类型的,第二条红线要求只有“有移动电话”的p才能保留下来,第三条红线要求集合中实际包含的是每个p元素的address()函数,也就是每个p的地址。

在实际中,谓词和项目都可以省略。

缩写

两个自然数x,y,我们可以用x…y来表示[x,y]。

笛卡尔积(重点)

  1. 序偶:x,y分别是两个任意类型的元素,则(x,y)是一个序偶。
  2. 笛卡尔积:笛卡尔积是序偶的集合。我们举个例子来理解笛卡尔积:

如果A={1,2},B={m,n},则A和B的笛卡尔积,用A×B表示,则为{(1,m),(1,n),(2,m),(2,n)}。

  1. 序偶的类型:如果1是N(自然数)类型,a是letter(字母)类型,则(1,a)是N×letter类型。
    注意:(1,a)和(a,1)是不同的类型。

任意集合和空集的笛卡尔积是空集。

  1. 注意:我们假设集合A的元素类型是a,集合B的元素类型是b,集合C的元素类型是C,则A×B×C的类型是((a,b),c),而非直观的(a,b,c)。
  2. 成分筛选:成分筛选用.运算符,继续举例子说明:

{p:A×B|p=(a,b)·p.1},这个集合是{a},也就是所有元素p的第一个部分。如果p有两个(a,b),(c,d),则前面的集合就是{a,c}。

公理定义

我们可以用公理定义来定义一个集合:
《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第1张图片
和谓词描述不同,公理定义也可以直接声明集合:

  1. 这个公理定义声明了集合中的元素,与上文的谓词描述相似
    《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第2张图片
  2. 下面的公理定义直接声明集合(P(N)是N的幂集,声明的意思是X是N的一个子集)
    《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第3张图片
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第七章 谓词逻辑

谓词逻辑其实就是命题逻辑的一种简洁的写法

全称量词∀,存在量词∃

这俩没什么说的,大家都知道。

可满足性,有效性,不可满足性

谓词逻辑构成的语句是一个命题,因此也具有真值。

  1. 有效性:当一个谓词中的变元取定义域的任意值时,这个命题都为真时,我们称这个谓词(注意是谓词,不是整个命题)时有效的。
    在这里插入图片描述
    全称量词表示n取其定义域的任意值。
  2. 可满足性:谓词中的变元取定义域的某一个值时,这个命题为真,则称这个谓词是可满足的。
    在这里插入图片描述
    存在量词表示n取其定义域的某一个值。
  3. 不可满足性:变元取任意值命题都是假的,谓词就不可满足,不用多说。

自由变元,约束变元

有定义域的变元就是自由变元,否则是约束变元。例如:
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其中y有定义域,是约束变元,x是自由变元。
注意:定义域是有自己的影响范围的,在影响范围之外的该变元依然是自由变元。
在这里插入图片描述

替换

替换符号是[],我们用例子来说明:

n>0[3/n]的结果是3>0,就是将所有n的地方写成3即可。

只有自由变元能被替换,约束变元收到定义域的限制,如果被替换了,则定义域中少了一个符号,意义完全不同,例如:

∀n:N·n>0[3/n]的结果是∀n:N·n>0,是不变的。如果被替换了,则为∀n:N·3>0,这样在定义域中n这个符号就消失了,这显然是不行的。

依次替换和同时替换

在替换多个变元时,有依次替换和同时替换两种方式。
在这里插入图片描述
前者是依次替换,后者是同时替换。这两者没什么区别,只是前者分两步替换,后者直接一步替换。

变元俘获

如果用约束变元替换自由变元,那么这个变元也会受到定义域的限制,就发生了变元俘获。
解决方法也很简单,换个字母替换自由变元,或者将约束变元换个字母就可以了。

限制

限制其实就是命题逻辑中的谓词。举个例子就明白了:
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红线的部分就是这个命题逻辑的限制。

限制的转化(难点)

限制的转化就是将带有限制的陈述转换成不带有限制的陈述。对于全称量词和存在量词来说,转化的方式是不同的。具体如下:
《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第4张图片
可以看出,全称量词的陈述转化之后用的是蕴含符号,而存在量词的陈述用的是合取符号。其实也不难理解,可以自己举一个全称量词和存在量词的例子,然后你会发现,全称量词都可以用“如果…,就…”这样的句式描述,而存在量词一般用“…的…”比较合适。
例如,下面的陈述:
在这里插入图片描述
这句话可以说成“如果n是自然数、n是素数且大于2,那么n是奇数。”
再看下面的陈述:
在这里插入图片描述
这句话显然说成“存在一个女性英国首相"比较合适。

唯一存在量词

唯一存在量词是”有且只有“的意思,我们举一个例子说明:
在这里插入图片描述
这个描述表示”有且只有一个x,使x+1=1“。

还有一个表示这个x的符号μ:
在这里插入图片描述
这个描述表示满足这个条件的x的集合,这个集合中只有一个元素。
注意:如果你算出来这个集合中不止一个元素,那么这个符号没有意义。这个符号是专用于唯一存在量词的。

等值推理

我们介绍过命题逻辑的等值推理,作为命题逻辑运算的延伸,谓词逻辑当然有自己的等值推理公式。与谓词逻辑不同的是,这里的等值推理公式距离我们的惯性思维较远,因此需要列出,但依然不需要每个都说明:

  1. 下面的公式是自己想不到,但很容易理解的:
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  2. 下面的公式是显然性的:
    《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第5张图片
  3. 下面的四个公式则需要仔细思考一下。注意,这四个公式的前提是x在q中没有出现:
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    既然x在q中没有出现,那么x与q没有关系,那么自然可以把q从括号中提出来。

自然演绎

谓词逻辑自然也有自己的自然演绎公式。在说明这些公式之前,提醒一下,在自然演绎中,上面的部分是前提,下面的部分是结论。另外,由于全称量词就是广义交运算,而存在量词是广义并运算,因此可以将带有这两个量词的描述拆成多个交或并运算来理解:
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《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第6张图片
说明一下这个公式,这个公式指任取X集合中的x,经过若干步推导得到p,则结论成立。
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这个规则不好理解,笔者的理解是:如果存在x使p为真,且以p为真为假设能推出q,那么q也可以为真;但x在q中不出现,那么q的真假与x没有关系,也就是说q的真假从x的角度来看是无法改变的,关于这一点,举一个例子来理解。看下面的这个描述:

∃x|x∈N·y

很显然这个描述是否为真和x的取值是没有关系的。那么如果存在x能推出这个陈述为真,那么对于所有x,这个陈述也是真的。
回到刚才的说明,q的真值和x的取值也没有关系,因此只要存在一个x推出q是真的,那么对于所有x,q都是真的,结论成立。
对于多个命题来说,这个规则也是成立的:
《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第7张图片

one-point规则

这个规则如下:
《离散数学导学》精炼——第6,7章(类型集合论,谓词逻辑)_第8张图片
正如这个规则所说,它可以得出t是X的一个元素且t满足p。注意,x在t中没有自由出现的前提很重要,如果用含有x的t来替换x,很显然不能得出什么元素能满足p。
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