2020ICPC南京【个人题解EFHKLM】
目录
- E - Evil Coordinate（思维、暴力）
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- 思路
- 代码
- F - Fireworks（概率期望、三分）
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- 思路
- 代码
- H - Harmonious Rectangle（思维、暴力）
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- 思路
- 代码
- K - K Co-prime Permutation（签到、构造）
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- 思路
- 代码
- L - Let's Play Curling（签到）
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- 思路
- 代码
- M - Monster Hunter（树形背包）
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- 思路
- 代码
E - Evil Coordinate（思维、暴力）
思路
首先如果炸弹在(0,0)或者机器人最终停在炸弹处，那么一定Impossible。
对于其他的情况，如果存在一条路径使得机器人可以不经过炸弹，那么一定存在一种方案，使得相同的方向在这个方案种是连在一起的。
于是可以直接枚举所有方向的排列，共4!个，判断每一种排列能否绕过炸弹即可。
代码
#includeF - Fireworks（概率期望、三分）
思路
假设一开始，最优解为做 x x x个烟花之后放掉，那么如果放了之后没有一个好烟花，状态又回到了初始状态，于是此时也会继续做 x x x个烟花然后放掉，于是若采取最优策略，每一次做的烟花数量是一定的。
考虑期望如何计算，令做 x x x个烟花之后放掉为一轮，那么每一轮产生好烟花的概率为 1 − ( 1 − p ) x 1-(1-p)^x 1−(1−p)x，产生好烟花的分布为几何分布，其轮数期望为 1 1 − ( 1 − p ) x \frac{1}{1-(1-p)^x} 1−(1−p)x1，由于每一轮所需时间为 x n + m xn + m xn+m，于是期望时间为 x n + m 1 − ( 1 − p ) x \frac{xn+m}{1-(1-p)^x} 1−(1−p)xxn+m
可以求二阶导证明该时间为关于 x x x的单峰函数，用三分求极值即可。注意要满足 x x x为整数，三分我用的是浮点数，最后上取整与下取整取个最小值即可。
代码
#include H - Harmonious Rectangle（思维、暴力）
思路
首先，如果n==1 || m == 1那么答案为0
如果n >= 8 || m >= 8那么答案为 3 n m 3^{nm} 3nm（思考一下即可知道为什么）
对于2<=n,m<=7的矩形而言，我们可以用dfs搜索出所有的答案，然后打个表。
如果直接暴搜的话，估计等一年都等不出结果（复杂度为 3 n m 3^{nm} 3nm），我们可以每次判断一下当前是否存在一组符合条件的点对，如果存在则直接返回的当前的方案数（后面每个点无论涂什么颜色都可以了），这样剪枝之后搜得很快。
代码
#include K - K Co-prime Permutation（签到、构造）
思路
若k==0，无解。
否则，直接把前 k k k个数左移一位即可。
代码
#include L - Let’s Play Curling（签到）
思路
本质上就是求每两个蓝色冰壶中有多少个红色冰壶，排序之后二分即可。
代码
#include M - Monster Hunter（树形背包）
思路
挺经典的树形背包题目。
我们可以用魔法⭐打败怪兽哟。
因为怪兽构成了一个树形结构，因此可以先考虑每棵子树的情况。对于某个节点的怪兽，可以选择是否使用魔法攻击，因此可以开一个维0/1来表示(常规操作）。每棵子树还能使用不同的魔法次数，这个状态也需要记录。
因此可用 d p [ u ] [ i ] [ j ] [ f l ] dp[u][i][j][fl] dp[u][i][j][fl]表示为以 u u u为根的子树中，枚举到第 i i i棵子树，( i = 0 i = 0 i=0表示子树根本身)，使用了 j j j次魔法， u u u怪兽使用( f l = 1 fl = 1 fl=1)或不使用( f l = 0 fl=0 fl=0)的最小代价。当然枚举到第 i i i棵子树这一维可以通过 j j j的倒序枚举优化掉。
先考虑 u u u本身，而不考虑 u u u的孩子，则 d p [ u ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] = h p [ u ] ， d p [ u ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] = 0 dp[u][0][0][0] = hp[u]，dp[u][0][1][1] = 0 dp[u][0][0][0]=hp[u]，dp[u][0][1][1]=0。
再考虑 u u u的孩子：
- 若 u u u是用魔法打败的，那么顺序必然为先用魔法打败 u u u，再去打 u u u的孩子，这样 u u u的孩子可以选择不用魔法。
- 若 u u u不是用魔法打败的，最终打败 u u u的代价还需要加上其孩子中不使用魔法的 h p hp hp，因为这些不使用魔法打败的孩子，必然是在 u u u被打败之后才被打败，即在 u u u未被打败的时候这些孩子还存活。
于是，状态转移方程可以写为：
d p [ u ] [ i ] [ j ] [ 1 ] = m i n v ( d p [ v ] [ s i z [ v ] ] [ k ] [ 0 ] , d p [ v ] [ s i z [ v ] ] [ k ] [ 1 ] ) + d p [ u ] [ i − 1 ] [ j − k ] [ 1 ] dp[u][i][j][1] = min_v(dp[v][siz[v]][k][0], dp[v][siz[v]][k][1])+dp[u][i-1][j-k][1] dp[u][i][j][1]=minv(dp[v][siz[v]][k][0],dp[v][siz[v]][k][1])+dp[u][i−1][j−k][1]
d p [ u ] [ i ] [ j ] [ 0 ] = m i n v ( d p [ v ] [ s i z [ v ] ] [ k ] [ 0 ] + v a l [ v ] , d p [ v ] [ s i z [ v ] ] [ k ] [ 1 ] ) + d p [ u ] [ i − 1 ] [ j − k ] [ 0 ] dp[u][i][j][0] = min_v(dp[v][siz[v]][k][0]+val[v], dp[v][siz[v]][k][1])+dp[u][i-1][j-k][0] dp[u][i][j][0]=minv(dp[v][siz[v]][k][0]+val[v],dp[v][siz[v]][k][1])+dp[u][i−1][j−k][0]
由于第二维可以优化掉，于是方程可写为：
d p [ u ] [ j ] [ 1 ] = m i n v ( d p [ v ] [ k ] [ 0 ] , d p [ v ] [ k ] [ 1 ] ) + d p [ u ] [ j − k ] [ 1 ] dp[u][j][1] = min_v(dp[v][k][0], dp[v][k][1])+dp[u][j-k][1] dp[u][j][1]=minv(dp[v][k][0],dp[v][k][1])+dp[u][j−k][1]
d p [ u ] [ j ] [ 0 ] = m i n v ( d p [ v ] [ k ] [ 0 ] + v a l [ v ] , d p [ v ] [ k ] [ 1 ] ) + d p [ u ] [ j − k ] [ 0 ] dp[u][j][0] = min_v(dp[v][k][0]+val[v], dp[v][k][1])+dp[u][j-k][0] dp[u][j][0]=minv(dp[v][k][0]+val[v],dp[v][k][1])+dp[u][j−k][0]
代码中需要优化掉一些不合法的状态才能通过这道题。
代码
#include