遗传算法为主的多目标优化算法来解决具有 n 元函数极值
下面我将根据以上论文的方法，详细介绍如何使用遗传算法为主的多目标优化算法来解决具有 n 元函数极值问题。
首先，我们需要定义一个目标函数来评估每个个体的优化性能。在这个问题中，我们将使用 Rosenbrock 函数，它是一个典型的多元函数极值问题。 Rosenbrock 函数可以用以下公式表示：
其中 $n$ 是变量的数量，$x$ 是一个 n维向量。我们的目标是最小化 Rosenbrock 函数，因为它在 (1,1,\dots,1) 处取得最小值为 0。
接下来，我们可以使用 DEAP 库来定义问题的进化算子。具体实现如下：
import random
from deap import base, creator, tools
creator.create("FitnessMin", base.Fitness, weights=(-1.0,))
creator.create("Individual", list, fitness=creator.FitnessMin)
toolbox = base.Toolbox()
toolbox.register("attr_float", random.uniform, -10, 10)
toolbox.register("individual", tools.initRepeat, creator.Individual, toolbox.attr_float, n=2)
toolbox.register("population", tools.initRepeat, list, toolbox.individual)
def rosenbrock(x):
return sum(100.0*(x[i+1]-x[i]**2.0)**2.0 + (1-x[i])**2.0 for i in range(len(x)-1))
def evaluate(individual):
return rosenbrock(individual),
toolbox.register("evaluate", evaluate)
toolbox.register("mate", tools.cxSimulatedBinaryBounded, low=-10, up=10, eta=3.0)
toolbox.register("mutate", tools.mutPolynomialBounded, low=-10, up=10, eta=3.0, indpb=1.0/2)
toolbox.register("select", tools.selNSGA2)
def main():
pop = toolbox.population(n=100)
cxpb = 0.5
mutpb = 0.2
ngen = 100
for g in range(ngen):
offspring = [toolbox.clone(ind) for ind in pop]
for child1, child2 in zip(offspring[::2], offspring[1::2]):
if random.random() < cxpb:
toolbox.mate(child1, child2)
del child1.fitness.values
del child2.fitness.values
for mutant in offspring:
if random.random() < mutpb:
toolbox.mutate(mutant)
del mutant.fitness.values
invalid_ind = [ind for ind in offspring if not ind.fitness.valid]
fitnesses = toolbox.map(toolbox.evaluate, invalid_ind)
for ind, fit in zip(invalid_ind, fitnesses):
ind.fitness.values = fit
pop = toolbox.select(offspring + pop, k=len(pop))
return pop
在这段代码中，我们使用 NSGA-II 算法进行多目标优化。
以下是一个完整可用的例子，它使用遗传算法为主的多目标优化算法来解决 Rosenbrock 函数的极值问题。这个例子使用 Python 3 和 DEAP 库。
import random
from deap import base, creator, tools
creator.create("FitnessMin", base.Fitness, weights=(-1.0,))
creator.create("Individual", list, fitness=creator.FitnessMin)
toolbox = base.Toolbox()
toolbox.register("attr_float", random.uniform, -10, 10)
toolbox.register("individual", tools.initRepeat, creator.Individual, toolbox.attr_float, n=2)
toolbox.register("population", tools.initRepeat, list, toolbox.individual)
def rosenbrock(x):
return sum(100.0*(x[i+1]-x[i]**2.0)**2.0 + (1-x[i])**2.0 for i in range(len(x)-1))
def evaluate(individual):
return rosenbrock(individual),
toolbox.register("evaluate", evaluate)
toolbox.register("mate", tools.cxSimulatedBinaryBounded, low=-10, up=10, eta=3.0)
toolbox.register("mutate", tools.mutPolynomialBounded, low=-10, up=10, eta=3.0, indpb=1.0/2)
toolbox.register("select", tools.selNSGA2)
def main():
pop = toolbox.population(n=100)
cxpb = 0.5
mutpb = 0.2
ngen = 100
for g in range(ngen):
offspring = [toolbox.clone(ind) for ind in pop]
for child1, child2 in zip(offspring[::2], offspring[1::2]):
if random.random() < cxpb:
toolbox.mate(child1, child2)
del child1.fitness.values
del child2.fitness.values
for mutant in offspring:
if random.random() < mutpb:
toolbox.mutate(mutant)
del mutant.fitness.values
invalid_ind = [ind for ind in offspring if not ind.fitness.valid]
fitnesses = toolbox.map(toolbox.evaluate, invalid_ind)
for ind, fit in zip(invalid_ind, fitnesses):
ind.fitness.values = fit
pop = toolbox.select(offspring + pop, k=len(pop))
pareto_front = tools.ParetoFront()
pareto_front.update(pop)
print("Pareto front solutions:")
for ind in pareto_front:
print(ind, ind.fitness.values)
if __name__ == "__main__":
main()
在这个例子中，我们定义了 Rosenbrock 函数和适应度函数。然后，我们使用 DEAP 库来定义问题的进化算子。我们使用 NSGA-II 算法进行多目标优化，并对个体进行交叉和变异。最后，我们输出 Pareto 前沿解集合中的所有解。
您可以将上述代码复制到 Python 环境中并运行它，以获得 Rosenbrock 函数的 Pareto 前沿解集合。在这个例子中，我们将变量的数量设置为 2，因此我们可以使用二维图形来可视化 Pareto 前沿解集合。