语言模型
一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为TT的词的序列w1,w2,…,wTw1,w2,…,wT，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
P(w1,w2,…,wT).P(w1,w2,…,wT).
本节我们介绍基于统计的语言模型，主要是nn元语法（nn-gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。
语言模型
假设序列w1,w2,…,wTw1,w2,…,wT中的每个词是依次生成的，我们有
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣w1,…,wt−1)=P(w1)P(w2∣w1)⋯P(wT∣w1w2⋯wT−1)P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣w1,…,wt−1)=P(w1)P(w2∣w1)⋯P(wT∣w1w2⋯wT−1)
例如，一段含有4个词的文本序列的概率
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3).P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3).
语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如，w1w1的概率可以计算为：
P^(w1)=n(w1)nP^(w1)=n(w1)n
其中n(w1)n(w1)为语料库中以w1w1作为第一个词的文本的数量，nn为语料库中文本的总数量。
类似的，给定w1w1情况下，w2w2的条件概率可以计算为：
P^(w2∣w1)=n(w1,w2)n(w1)P^(w2∣w1)=n(w1,w2)n(w1)
其中n(w1,w2)n(w1,w2)为语料库中以w1w1作为第一个词，w2w2作为第二个词的文本的数量。
n元语法
序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。nn元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面nn个词相关，即nn阶马尔可夫链（Markov chain of order nn），如果n=1n=1，那么有P(w3∣w1,w2)=P(w3∣w2)P(w3∣w1,w2)=P(w3∣w2)。基于n−1n−1阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣wt−(n−1),…,wt−1).P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣wt−(n−1),…,wt−1).
以上也叫nn元语法（nn-grams），它是基于n−1n−1阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当n=2n=2时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3)P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3)
当nn分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列w1,w2,w3,w4w1,w2,w3,w4在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2)P(w3)P(w4),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w2,w3).P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2)P(w3)P(w4),P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3),P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w2,w3).
当nn较小时，nn元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当nn较大时，nn元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
思考：nn元语法可能有哪些缺陷？
参数空间过大
数据稀疏
语言模型数据集
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