高效寻找数组中的“众数” - 摩尔投票法

问题:在长度为n的数组中找出重复次数超过n/2的数(假设一定存在)。

存在O(n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度的解法,即摩尔投票法

前言: 直接看摩尔投票法的代码,很难理解其算法思想,过一段时间就会忘记代码怎么写的,在此之前其实我就已经看过不下两次代码了,只记得有这样一种方法,但是具体的就不记得了,所以我们要理解其原理。

摩尔投票法

摩尔投票法基于这样一个事实,当一个数的重复次数超过数组长度的一半,每次将两个不相同的数删除,最终剩下的就是要找的数。

那么如何在O(n)的时间复杂度,只遍历一次数组就把不同的数都删除呢?摩尔投票法的代码实现是具有技巧性的,并不是真的要删除数组里的数,只是把遍历过程当作一个删除过程。

使用一个虚拟数组存放还未和不同数字一起删除的数,这个数组只能有若干个同一数字,不可能存在不同的数,因为如果存在不同的数就会被删去,而不会放到此数组中。

当数组遍历到当前元素时,若虚拟数组为空,就将当前元素加进去;若虚拟数组非空,就比较当前元素是否和虚拟数组中的元素相同,如果不同就删去虚拟数组中的一个元素,同时当作当前元素也被删除,接着遍历下一元素,这样就相当于一对不同的数字被删除,如果相同,就把当前元素加到虚拟数组中。最终遍历完数组,虚拟数组中的元素就是要找的元素。

由于虚拟数组中只会存在若干个相同元素,那么可以仅用两个变量表示这个虚拟数组,一个变量存值,另一个变量存放个数。

更详细的描述可以参考知乎上喝七喜的回答

c语言代码如下:

#include
#define LEN 10
int main(){
    int a[] = {2,2,1,1,1,3,3,1,1,1};
    int x, cx = 0;//表示一个虚拟数组
    for(int i = 0; i < LEN; ++i){
        if(cx == 0) x = a[i], cx = 1;//虚拟数组为空,加入当前元素
        else if(x == a[i]) ++cx;//数组非空,当前元素与虚拟数组元素相同,加入当前元素
        else --cx;//数组非空,当前元素与虚拟数组元素不同,删除一对不相同的元素
    }
    printf("超过1/2的数是:%d",x);
    return 0;
}

类似的问题: 在长度为n的数组中找出重复次数超过n/3的数(不一定存在)。

容易知道,重复次数超过数组长度1/3的数最多有两个。用反证法容易证得。

同样的思路,使用两个虚拟数组,每次删除三个不同的数,最终虚拟数组中的两个数就是可能的答案,此时再遍历一遍数组,做一个验证即可。
c语言代码如下:

#include
#define LEN 8
int main(){
    int a[] = {1,2,1,2,3,3,1,2};
    int x, y, cx = 0, cy = 0;//两个虚拟数组
    for(int i = 0; i < LEN; ++i){
        if(x == a[i]) ++cx;
        else if(y == a[i]) ++cy;
        else if(cx == 0) x = a[i], cx = 1;
        else if(cy == 0) y = a[i], cy = 1;//这两个判断不能提前,因为可能把x,y赋为同一个值
        else --cx, --cy;
    }
    cx = 0,cy = 0;
    for(int i = 0; i < LEN; ++i){//锁定候选目标,遍历数组,计数,做验证
        if(a[i] == x) ++cx;
        else if(a[i] == y) ++cy;
    }
    if(cx > LEN/3){
        printf("超过1/3的数有:%d\n",x);
    }
    if(cy > LEN/3){
        printf("超过1/3的数有:%d\n",y);
    }
    return 0;
}

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