通过描述系统的微分方程，判断系统是否为线性系统以及是定常系统还是时变系统

目前只写了叠加性部分，齐次性、定常时变类似（之后补）

如果不是微分方程中含有积分，那么两边微分/求导消去积分

线性系统

线性系统有两个重要的特性：叠加性和齐次性。

叠加性

定义

当系统同时存在几个输入量时，其输出量等于各输入量单独作用时所引起的输出量的和。
即当$r(t)=\sum r_i(t)$时，微分方程的解为$c(t)=\sum c_i(t)$，这就是叠加性。

判断方法

• 设各输入量$c_i(t)$分别代入微分方程中时，输出量分别为$r_i(t)$（证明的时候取两个就可以了）
• 将各分量的微分方程相加，不管是否线性，等式都成立（式一）
• 将输入$c(t)=\sum c_i(t)$代入微分方程，如果满足叠加性，其输出量应为单独作用时所引起的输出量的和，即同时将$r(t)=\sum r_i(t)$代入微分方程中，等式应成立（式二）

式一是一定成立的，用于证明或者证伪式二。若能证明式二成立，则说明该系统满足叠加性，反之不满足。

例题

例1：c(t)为输入，r(t)为输出，系统的微分方程为$t\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)+3\frac{dr(t)}{dt}$.
解: 假设两个输入量$c_1(t),c_2(t)$分别作用于系统，则由系统的微分方程，分别有
$$t\frac{d{c}_1(t)}{dt}+c_1(t)=r_1(t)+3\frac{d{r}_1(t)}{dt}①$$
$$t\frac{d{c}_2(t)}{dt}+c_2(t)=r_2(t)+3\frac{d{r}_2(t)}{dt}②$$
当$c_1(t)+c_2(t)$同时作用于系统时，假设系统满足叠加性，应有
$$t\frac{d(c_1(t)+c_2(t))}{dt}+c_1(t)+c_2(t)=r_1(t)+r_2(t)+3\frac{d(r_1(t)+r_2(t))}{dt}③(式二)$$
①+②得
$$t\frac{d(c_1(t)+c_2(t))}{dt}+c_1(t)+c_2(t)=r_1(t)+r_2(t)+3\frac{d(r_1(t)+r_2(t))}{dt}④(式一)$$
可见③(式二)成立，所以假设成立，系统满足叠加性

若不满足叠加性，结论如下
可见④与③矛盾，故系统不满足叠加性

齐次性

定义

当输入量增大或缩小k (k为实数)倍时，系统输出量也按同一倍数增大或缩小。
即当$r(t)=k{r}_1(t)$时(k为常数实数)，微分方程的解为$c(t)=k{c}_1(t)$.

判断方法

还没写

例题

还没写

非线性系统

在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性环节时，则称此系统为非线性系统。典型的非线性特性有饱和特性、死区特性、间隙特性、继电特性、磁滞特性等。

定常系统

如果系统中参数不随时间变化，则这类系统称为定常系统。在实践中遇到的系统，大多数属于这一类。

线性定常系统

如果一个线性系统微分方程的系数为常数，
那么系统称为线性定常系统。
例如：
$$\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2\frac{dc(t)}{dt}+x(t)=r(t)$$

时变系统

如果系统中的参数是时间t的函数，则这类系统称为时变系统。

线性时变系统

如果一个线性系统微分方程的系数为时间的函数，
那么系统称为线性时变系统。
例如：
$$\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2t\frac{dc(t)}{dt}+x(t)=r(t)$$

参考老师上课内容以及网上课件https://www.docin.com/p-107264184.html

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