2021-07-12-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题16）
证明:不存在整数、、,满足.
证明
因为,显然有.
不失一般性,假定、是题设方程的整数解,且满足,,及,我们还可以进一步假定是满足上述条件的最小的整数解.
由于,可知是偶数,而是奇数.
注意到,及,故存在一个奇整数和偶整数,使得,及.
由此易证,存在一个整数与奇数,使得,.
故,.
注意到及.
故存在整数、,其中,,使得,或,,及.易知.
由于,,故存在正整数、,使得,.因此.而,这与是最小解的假定矛盾.
2021-07-12-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题17）
设都是非负实数,是它们中的最小值,记.
求证:,
其中等号成立当且仅当.
证明
用归纳法.
当时要证的不等式显然成立.
设当时结论成立.当时,由轮换对称性,不妨设最大.
于是由归纳假设可得
(1).
由(1)可知,为证原不等式,只需证
.
即(2)
由于,,
显然(2)成立.
这就证明了当时要证的不等式成立.
而且为使时要证的不等式中的等号成立,当且仅当(1)和(2)中的等号成立.
由归纳假设(1)中等号成立的充要条件是.
从而(2)中等号成立的充要条件是.
故当时,原不等式中等号成立当且仅当.
2021-07-12-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P92 习题18）
设,求证:的任一个元的子集中必有个数之和为零.
证明
若不然,则存在的一个元的子集,其中任何个数之和都不为零.
(1)首先证明,.如果,则其余的个整数分属于如下个数对:.由抽屉原理知其中必有一对的两个数都属于.二者加上,三数之和为零,矛盾.
(2)设中绝对值最小的元素为,不妨设.令,,,.
显然,这些集都不是空集且由反证假设知.(1)
若,则由(1)有,矛盾.
故必有.于是及.
故有,.(2)
将、中各数之和分别记为和,则和中各数之和分别为和.
于是由(2)便得,.,故为奇数,故得,矛盾.
2021-07-12-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P92 习题19）
某市有所中学,第所中学派出名学生到体育馆观看球赛.已知,,,看台的每一横排有个座位.要求同一学校的学生必须坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能按要求入座?
解
由于,故每一横排至少可坐人.于是只要有排,至少可坐人,当然能坐下全部名学生.
下面证明只要安排个横排就够了.由于只有有限多个,故它们的不超过的有限和也只有有限多个.选取其中最接近的有限和,记为,将这个学校的学生安排在第一排就坐.然后再对其余的诸人进行同样的讨论并选取不超过且最接近的有限和,并把相应的学校的学生排在第二排.依此类推,一直排到第十排并记第排的空位数为.
如果,则余下的未就坐的学校的学生数全都不小于.若余下的学校数不多于个,则只要排就够了.若余下的学校数不少于个,则可任取个学校的学生安排在第排.这时有,此与的最小性矛盾.如果,则前排的空位总数,亦即前排已至少坐了人,未安排就坐的学生至多还有人.每排至少可坐人,故只要有排就够了.
最后,考察只有排的情形.这时,只容许有个空位.为了安排下全部学生,每排空位平均不能达到个.设,前个学校各出学生人,最后一个学校派人,则共有人.但安排座位时,除了一排可坐人外,其余排每排至多能安排个学校的人.故排至多安排人就坐.这说明只有排座位是不够的.
2021-07-12-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P92 习题20）
试求所有的正整数,使得是整数.
解
显然数为正奇数,于是我们只需考虑且为奇数的情况.
设是的最小素因数,则,.令是使成立的最小正整数,我们将证明.若,则可设,,.由费马小定理可知.于是,.故由即知.这与是使成立的最小正整数相矛盾.
令,,则.由得.若,即是偶数,则,由,与的意义相矛盾.此时只有.若,则由知.若,可令,,于是由得.这又与的意义相矛盾,此时也有.于是,即,但是的最小素因数,且,因而.又由可得.于是可以把写成,,,.
现在证明.若,则由,可知.于是由..(1)
设中的的最高次幂为,则.若中的的最高次幂为,则当时,有.若,则.注意到,所以有.于是由(1)知,.进而.这与矛盾.从而证明了,即,.
设,而是的最小素因数,显然有,且.类似地,令为使成立的最小正整数,则必有.进而又可证明.因而由素数的定义及可知.于是由得,这与矛盾.因而.所以.
可以验证.于是,满足要求的正整数只有.