算法导论 3.2-1 关于单调递增函数的证明

证明：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(n)+g(n)和f(g(n))也是单调递增的，此外，若f(n)和g(n)是非负的，则f(n)·g(n)是单调递增的。

解答：

证明1：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(n)+g(n)也是单调递增的。

若，因为f(n)和g(n)是单调递增的函数，可得  且  ，我们将两个不等式左右相加，可得

 。由此可知函数f(n)+g(n)也是单调递增的。

证明2：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(g(n))也是单调递增的。

若，因为g(n)是单调递增的函数，可得  ，取和，则可知，由于f(n)已知是单调递增函数，所以必然存在，即，由此可知函数f(g(n))也是单调递增的。

证明3：若f(n)和g(n)是非负的，则f(n)·g(n)是单调递增的。

若，因为f(n)和g(n)是单调递增的函数，可得  且  ，我们将不等式左右两边各乘以g(m)，由于g(m)是非负的，可得

  --- 不等式 1

由于，我们将不等式两边各自乘以f(n)，由于f(n)是非负的，可得

 --- 不等式 2

结合不等式1和不等式2，可得，进一步可得

因此证明3成立。