统计学三种相关系数【pearson、spearman、kendall】

1. pearson

pearson系数的取值范围为$[-1.0,1.0]$之间，接近0表示无相关性，接近1或-1表示强相关

• 皮尔森相关性系数对数据的要求较高：
  （1）实验数据通常假设是成对地来自正态分布的总体。因为在求得皮尔森相关性系数之后，通常会用t检验之类的方法来进行皮尔森相关性系数检验，而t检验是基于数据呈正太分布的假设。
  （2）实验数据之间的差距不能太大，或者说皮尔森相关性系数受异常值影响较大。

ps：分母部分是两个变量的标准差之积，不能为0。因此任何一个变量都不能是恒定不变的。

2. spearman

$n$表示数据总量，$d_i=rg(X_i)-rg(Y_i)$表示两种数据次序的差值。斯皮尔曼相关性系数的范围为$[-1,1]$。

• 简介：斯皮尔曼相关性系数，通常也叫斯皮尔曼秩相关系数，是一种等级相关系数。用于衡量两个变量的依赖性非参数指标，常用希腊字母$\rho$表示。利用单调方程评价两个统计变量的相关性。若数据中没有重复值，并且当两个变量完全单调相关时，斯皮尔曼相关性系数为+1或-1。这里的“秩”可以理解为一种顺序或排序。即斯皮尔曼相关性系数的值是与两种变量的排序相关的，因此这种表示没有皮尔森的那些限制。

• 计算：
  对两组数据分别进行排序，每个数据排序后的位置称为秩次，秩次次的差值就是$d_i$
  
  在计算斯皮尔曼系数时，不需要计算两个变量的值究竟相差多少，只需计算每个值所处的位置的差值便可以求解。另外，斯皮尔曼系数可以很好地处理变量值没有变化的情况，而且即使出现了异常值，对于斯皮尔曼的相关性系数的影响也非常小，因为异常值通常过大或过小，秩次不会发生明显的变化。

此外，斯皮尔曼由于计算要求不高，不论两个变量的总体分布形态、样本容量的大小如何，都可以用斯皮尔曼等级相关来进行研究，因此适用的范围很广。尤其是在生物实验数据分析中，适用频率很高。

3. kendall

• 简介：肯德尔相关性系数，又称肯德尔秩相关性系数，也是等级相关性系数，常用希腊字母$\tau$表示，取值范围$[-1,1]$。$\tau =-1$表示两个随机变量拥有完全相反的等级相关性；$\tau =0$表示两个随机变量是相互独立的
• 计算
  （1）公式1
  
  C表示XY中拥有一致性的元素对数（两个元素为一对）；D表示XY中拥有不一致性的元素对数。公式一仅适用于集合X与Y中均不存在相同元素的情况（元素唯一）
  （2）公式2
  
  适用于集合X或Y中存在相同元素的情况（当X和Y中均不存在相同元素，则公式2等同于公式1）
  
  （3）公式3
  
  公式3没有再考虑集合X或Y中存在相同元素为最后的统计值带来的影响，仅适用于用表格表示的随机变量X,Y之间的相关系数的计算