「leetcode」236. 二叉树的最近公共祖先:【递归与回溯】详解
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236. 二叉树的最近公共祖先
给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
例如，给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]
示例 1:
输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。
示例 2:
输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
说明:
- 所有节点的值都是唯一的。
- p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。
思路
遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了，这样就可以找到公共祖先了。
那么二叉树如何可以自底向上查找呢？
回溯啊，二叉树回溯的过程就是从低到上。
后序遍历就是天然的回溯过程，最先处理的一定是叶子节点。
接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共公共祖先呢。
如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者 左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。
使用后序遍历，回溯的过程，就是从低向上遍历节点，一旦发现如何这个条件的节点，就是最近公共节点了。
递归三部曲：
- 确定递归函数返回值以及参数
需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点q或者p，那么返回值为bool类型就可以了。
但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode * ，那么如果遇到p或者q，就把q或者p返回，返回值不为空，就说明找到了q或者p。
代码如下：
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
- 确定终止条件
如果找到了 节点p或者q，或者遇到空节点，就返回。
代码如下：
if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
- 确定单层递归逻辑
值得注意的是 本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。
我们在二叉树：递归函数究竟什么时候需要返回值，什么时候不要返回值？中说了 递归函数有返回值就是要遍历某一条边，但有返回值也要看如何处理返回值！
如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？
搜索一条边的写法：
if (递归函数(root->left)) return ;
if (递归函数(root->right)) return ;
搜索整个树写法：
left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
看出区别了没？
在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）。
那么为什么要遍历整颗树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。
如图：
就像图中一样直接返回7，多美滋滋。
但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的节点4、15、20。
因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理， 不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。
left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。
那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值，代码如下：
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
如果left 和 right都不为空，说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解
如果left为空，right不为空，就返回right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然。
这里有的同学就理解不了了，为什么left为空，right不为空，目标节点通过right返回呢？
如图：
图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！
这里点也很重要，可能刷过这道题目的同学，都不清楚结果究竟是如何从底层一层一层传到头结点的。
那么如果left和right都为空，则返回left或者right都是可以的，也就是返回空。
代码如下：
if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else { // (left == NULL && right == NULL)
return NULL;
}
那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：
从图中，大家可以看到，我们是如何回溯遍历整颗二叉树，将结果返回给头结点的！
整体代码如下：
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
if (left != NULL && right != NULL) return root;
if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else { // (left == NULL && right == NULL)
return NULL;
}
}
};
稍加精简，代码如下：
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
if (left != NULL && right != NULL) return root;
if (left == NULL) return right;
return left;
}
};
总结
这道题目刷过的同学未必真正了解这里面回溯的过程，以及结果是如何一层一层传上去的。
那么我给大家归纳如下三点：
-
求最小公共祖先，需要从底向上遍历，那么二叉树，只能通过后序遍历（即：回溯）实现从低向上的遍历方式。
-
在回溯的过程中，必然要遍历整颗二叉树，即使已经找到结果了，依然要把其他节点遍历完，因为要使用递归函数的返回值（也就是代码中的left和right）做逻辑判断。
-
要理解如果返回值left为空，right不为空为什么要返回right，为什么可以用返回right传给上一层结果。
可以说这里每一步，都是有难度的，都需要对二叉树，递归和回溯有一定的理解。
本题没有给出迭代法，因为迭代法不适合模拟回溯的过程。理解递归的解法就够了。
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