最优化方法Python计算：收敛序列极限计算

数值化地计算向量序列的极限之前，先思考如下结论
定理1 无穷序列$\{{\mathbf{x}}_k\}\subset {\text{R}}^n$收敛，当且仅当对任意$\epsilon >0$存在$N\in \text{N}$，对所有$n,m>N$，
$$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon .$$
利用本定理，可数值化地计算收敛序列$\{{\mathbf{x}}_k\}$的极限：给定容错误差$\epsilon >0$，譬如取$\epsilon =10^{-6}$。从一个适当的$N$值起步，譬如取$N=10^3$。从大于$N$的整数任取$n$和$m$，检测是否$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$。若是，则取$n,m$中的较大者为$k$，并以${\mathbf{x}}_k$作为序列极限的近似值返回并停机。否则，扩大$N$。譬如，扩大10倍，重复上述的过程。直至检测到有$n,m>N$，使得$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$。然而，这一过程不能因为没有检测到$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$而一直持续下去，所以必须设置一个最大迭代次数$i$，譬如说$i=10$（此时，$N=10^{13}$）。当$i=10$时仍未检测到$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$则说明序列收敛速度非常低或根本就是一个发散序列，应停机并宣告计算无效。在Python中我们将此计算过程实现为以下的函数。

import numpy as np                                  #导入numpy
from math import nan                                #导入非数值常量nan
from scipy.stats import randint                     #导入整数均匀分布randint
def limit(x,eps=1e-6):                              #x为序列通项，eps为容错误差
    N=10**3                                         #初始步长N=1000
    m,n=N+randint.rvs(1,10**2,size=2)               #m和n大于N的随机数
    i=1                                             #迭代次数
    while i<=10 and np.linalg.norm(x(n)-x(m))>=eps: #迭代
        N*=10                                       #下一个步长
        m,n=N+randint.rvs(1,10**2,size=2)           #m和n大于N的随机数
        i+=1                                        #迭代次数自增1
    if i>10:                                        #N>1000*10^10
        return nan
    return x(max(m,n))

程序的第4~14定义函数limit。该函数有两个参数：x表示序列通项${\mathbf{x}}_k$，命名参数eps表示容错误差$\epsilon$，缺省值为$10^{-6}$。
第5～7行执行初始化操作：第5行设置初始步长$N=10^3$为N。第6行调用randint函数（地3行导入），产生2个介于1~100之间的随机整数，加上N后赋予m和n。第7行迭代次数i初始化为1。
第8～11行的while循环进行迭代：第9行将步长N增大10倍。第10行产生2个1~100之间的整数，加上N后赋予m，n，作为大于N的序列下标。第11行将迭代次数自增1。循环往复，直至
$$i>10\text{或}\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$$
为真。
循环结束后，若在12行测得i>10，意味着$N=10^{13}$以后的元素差的范数仍大于容错误差$\epsilon$，故认为该序列不收敛，第13行返回math模块中表示非数值常量nan。否则，即
$$\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert <\epsilon$$
根据定理1判断序列$\{{\mathbf{x}}_k\}$收敛，第14行将较大下标元素作为极限的近似值返回。
例1 考虑序列
(1)$\{\frac{\sin k}{k}\}$；
(2)$\left\{\left(\begin{array}{c}\frac{k-1}{k}\\ \frac{k+1}{k}\end{array}\right)\right\}$；
(3)$\{k\}$。
用上述程序中定义的函数limit判断其是否收敛，若是则计算极限的近似值。
解：(1)我们知道$\sin k$是一个有界量，而$k$是一个无穷大量，两者之比为无穷小量，即$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{\sin k}{k}=0$；
(2)根据例1.7的计算知$\underset{k\to \infty }{\lim }\left(\begin{array}{c}\frac{k-1}{k}\\ \frac{k+1}{k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$；
(3)序列$\{k\}$是一个发散的序列。
下列代码验证以上结果。

import numpy as np							#导入numpy
x=lambda k:np.array([np.sin(k)/k])			#序列(1)的通项
print('%.1f'%limit(x))						#计算极限
x=lambda k:np.array([(k-1)/k,(k+1)/k])		#序列(2)的通项
print(limit(x))								#计算极限
x=lambda k:k								#序列(3)的通项
print(limit(x))								#计算极限

程序的2、4、6行分别用lambda运算符定义序列(1)、(2)和(3)的通项。第3、5、7行调用limit函数分别计算各序列极限。运行程序，输出

0.0
[0.9999006 1.0000994]
nan

第1行表示序列(1)收敛于0，第2行表示序列(2)的极限向量$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$的近似值，最后一行表示序列(3)无极限。