对用“图形”表示“除法意义”的思考

开学到现在，两个星期的时间过去了。这两个星期的教学内容重在理解“除法的意义”，建构整数除法概念。

整数除法概念有两种形式，分别是等分除与包含除，其本质都是“平均分”――每份分的同样多。但是，在具体情境中是有区别的，见下图：

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这道题目里面，孩子只关注了平均分，没有关注具体的分成几份。提醒孩子，做作业的时候要注意审题。

也有孩子只是知道现在在学除法，因此，解决问题的时候，除法式子是必须出现的，至于谁除以谁，结果表示什么意思，则完全没有理解，如下图：

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而对于这样的题目，孩子还是能做对的。因为，除数与商正好相等。

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因此，个人感觉：最初的时候，这种类型的题目最好不出现，因为，单从孩子的列式中反应不出孩子对数学问题的理解。当然，有同事反对我的这个看法，她觉得，这道题目反而能让孩子更透彻的理解除法的含义。借助具体的情境，孩子可以明白，除数的3表示平均分成了3份，商的那个3表示每份里面有3个圈圈。

孩子的错误，归根到底是孩子对除法概念的建立没有一个清晰的认识。为了让孩子建立清晰的除法概念，利用“画图”来辅助理解，还是一个不错的选择。但是，在“画图”过程中，有一些细节引发了我的思考，比如：

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上面这幅图，孩子的意思是，把18平均分成3份，每份里面有6个圈。在写的时候，写成了18里面有3个6。

多数老师的建议是，18里面有3个6,应该画成每3个圈一下，共圈了6次。

孩子说到：“把18平均分成3份，每份里面有6个圈。我可以看做一份就是一个6,三份不就是3个6吗？”，孩子的话挺有道理的。对于这一点，我该怎么来理解？？？？

想到以往教学乘法的时候，3×2可以表示3个2相加也可以表示成2个3相加。当然，以往的教材是分得很清晰的，什么时候是两个3相加，什么时候是三个2相加。

是否可以这样来理解，这是一果两因。顺向推理的时候，由连加到乘法，是一因一果；逆向的时候，由乘法到连加，是一果两因。即：一个乘法算式，推断出两个连加表达式。

回到，除法的两种含义上来。有的时候，一副图真的很难反应出到底是哪种含义，比如上图孩子的理解；再比如，下图：

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是否是等分与包含都可以呀。把8平均分成4份，每份里面有2个；8里面有4个2。因此，有老师建议，能否这样来画图：

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等份就是画两个方框，最好里面画上每份的数量，其他的份就不画；同样，包含除就是圈一个包含得量，具体有多少个这样的份，也不画。这样，就能清楚的知道孩子的思维方式，能让孩子的思维外化，且能让老师做出一定的判断……

当然，以前的等分除，包含除也能动态的展示孩子的思维过程，但是，随着孩子能快速获得最终计算的结果，那种画图当时已经跟不上孩子思维的脚步了。见下图，

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