【伸展树Splay Tree】
1、 概述
二叉查找树（Binary Search Tree，也叫二叉排序树，即Binary Sort Tree）能够支持多种动态集合操作，它可以用来表示有序集合、建立索引等，因而在实际应用中，二叉排序树是一种非常重要的数据结构。
从算法复杂度角度考虑，我们知道，作用于二叉查找树上的基本操作（如查找，插入等）的时间复杂度与树的高度成正比。对一个含n个节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果因为频繁的删除和插入操作，导致树退化成一个n个节点的线性链（此时即为一个单链表），则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。为了克服以上缺点，很多二叉查找树的变形出现了，如红黑树、AVL树，Treap树等。
本文介绍了二叉查找树的一种改进数据结构–伸展树（Splay Tree）。它的主要特点是不会保证树一直是平衡的，但各种操作的平摊时间复杂度是O(log n)，因而，从平摊复杂度上看，二叉查找树也是一种平衡二叉树。另外，相比于其他树状数据结构（如红黑树，AVL树等），伸展树的空间要求与编程复杂度要小得多。
2、 基本操作
伸展树的出发点是这样的：考虑到局部性原理（刚被访问的内容下次可能仍会被访问，查找次数多的内容可能下一次会被访问），为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些节点应当经常处于靠近树根的位置。这样，很容易得想到以下这个方案：每次查找节点之后对树进行重构，把被查找的节点搬移到树根，这种自调整形式的二叉查找树就是伸展树。每次对伸展树进行操作后，它均会通过旋转的方法把被访问节点旋转到树根的位置。
为了将当前被访问节点旋转到树根，我们通常将节点自底向上旋转，直至该节点成为树根为止。“旋转”的巧妙之处就是在不打乱数列中数据大小关系（指中序遍历结果是全序的）情况下，所有基本操作的平摊复杂度仍为O（log n）。
伸展树主要有三种旋转操作，分别为单旋转，一字形旋转和之字形旋转。为了便于解释，我们假设当前被访问节点为X，X的父亲节点为Y（如果X的父亲节点存在），X的祖父节点为Z（如果X的祖父节点存在）。
（1） 单旋转
节点X的父节点Y是根节点。这时，如果X是Y的左孩子，我们进行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，则我们进行一次左旋操作。经过旋转，X成为二叉查找树T的根节点，调整结束。
（2） 一字型旋转
节点X 的父节点Y不是根节点，Y 的父节点为Z，且X与Y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次左左旋转操作或者右右旋转操作。
（3） 之字形旋转
节点X的父节点Y不是根节点，Y的父节点为Z，X与Y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次左右旋转操作或者右左旋转操作。
3、伸展树区间操作
在实际应用中，伸展树的中序遍历即为我们维护的数列，这就引出一个问题，怎么在伸展树中表示某个区间？比如我们要提取区间[a,b]，那么我们将a前面一个数对应的结点转到树根，将b 后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么根右边的左子树就对应了区间[a,b]。原因很简单，将a 前面一个数对应的结点转到树根后， a 及a 后面的数就在根的右子树上，然后又将b后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么[a,b]这个区间就是下图中B所示的子树。
利用区间操作我们可以实现线段树的一些功能，比如回答对区间的询问（最大值，最小值等）。具体可以这样实现，在每个结点记录关于以这个结点为根的子树的信息，然后询问时先提取区间，再直接读取子树的相关信息。还可以对区间进行整体修改，这也要用到与线段树类似的延迟标记技术，即对于每个结点，额外记录一个或多个标记，表示以这个结点为根的子树是否被进行了某种操作，并且这种操作影响其子结点的信息值，当进行旋转和其他一些操作时相应地将标记向下传递。
与线段树相比，伸展树功能更强大，它能解决以下两个线段树不能解决的问题：
（1） 在a后面插入一些数。方法是：首先利用要插入的数构造一棵伸展树，接着，将a 转到根，并将a 后面一个数对应的结点转到根结点的右边，最后将这棵新的子树挂到根右子结点的左子结点上。
（2） 删除区间[a,b]内的数。首先提取[a,b]区间，直接删除即可。
4、实现
代码全部来自【参考资料2】。
（1）旋转操作
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// node 为结点类型，其中ch[0]表示左结点指针，ch[1]表示右结点指针
// pre 表示指向父亲的指针
// Rotate函数用于（左/右）旋转x->pre
void
Rotate(node *x,
int
d)
// 旋转操作，d=0 表示左旋，d=1 表示右旋
{
node *y = x->pre;
Push_Down(y), Push_Down(x);
// 先将Y 结点的标记向下传递（因为Y 在上面），再把X 的标记向下传递
y->ch[! d] = x->ch[d];
if
(x->ch[d] != Null) x->ch[d]->pre = y;
x->pre = y->pre;
if
(y->pre != Null)
if
(y->pre->ch[0] == y) y->pre->ch[0] = x;
else
y->pre->ch[1] = x;
x->ch[r] = y, y->pre = x, Update(y);
// 维护Y 结点
if
(y == root) root = x;
// root 表示整棵树的根结点
}
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（2）splay操作
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void
Splay(node *x, node *f)
// Splay 操作，表示把结点x 转到结点f 的下面
{
for
(Push_Down(x) ; x->pre != f; )
// 一开始就将X 的标记下传
if
(x->pre->pre == f)
// 父结点的父亲即为f，执行单旋转
if
(x->pre->ch[0] == x) Rotate(x, 1);
else
Rotate(x, 0);
else
{
node *y = x->pre, *z = y->pre;
if
(z->ch[0] == y)
if
(y->ch[0] == x)
Rotate(y, 1), Rotate(x, 1);
// 一字形旋转
else
Rotate(x, 0), Rotate(x, 1);
// 之字形旋转
else
if
(y->ch[1] == x)
Rotate(y, 0), Rotate(x, 0);
// 一字形旋转
else
Rotate(x, 1), Rotate(x, 0);
// 之字形旋转
}
Update(x);
// 最后再维护X 结点
}
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（3）将第k个数转到要求的位置
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// 找到处在中序遍历第k 个结点，并将其旋转到结点f 的下面
void
Select(
int
k, node *f)
{
int
tmp;
node *t;
for
(t = root; ; )
// 从根结点开始
{
Push_Down(t);
// 由于要访问t 的子结点，将标记下传
tmp = t->ch[0]->size;
// 得到t 左子树的大小
if
(k == tmp + 1)
break
;
// 得出t 即为查找结点，退出循环
if
(k <= tmp)
// 第k 个结点在t 左边，向左走
t = t->ch[0];
else
// 否则在右边，而且在右子树中，这个结点不再是第k 个
k -= tmp + 1, t = t->ch[1];
}
Splay(t, f);
// 执行旋转
}
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5、 应用
（1） 数列维护问题
题目：维护一个数列，支持以下几种操作：
1. 插入：在当前数列第posi 个数字后面插入tot 个数字；若在数列首位插入，则posi 为0。
2. 删除：从当前数列第posi 个数字开始连续删除tot 个数字。
3. 修改：从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字统一修改为c 。
4. 翻转：取出从当前数列第posi 个数字开始的tot 个数字，翻转后放入原来的位置。
5. 求和：计算从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字的和并输出。
6. 求和最大子序列：求出当前数列中和最大的一段子序列，并输出最大和。
（2） 轻量级web服务器lighttpd中用到数据结构splay tree.
6、 参考资料
（1） 杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
（2） Crash《运用伸展树解决数列维护问题》
MiYu原创, 转帖请注明 : 转载自 ______________白白の屋 
伸展树(Splay Tree)是AVL树不错的替代，它有以下几个特点：
(1)它是二叉查找树的改进，所以具有二叉查找树的有序性。
(2)对伸展树的操作的平摊复杂度是O(log2n)。
(3)伸展树的空间要求、编程难度非常低。
提到伸展树，就不得不提到AVL树和Read-Black树，虽然这两种树能够保证各种操作在最坏情况下都为logN，但是两都实现都比较复杂。而在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。这样，就能使得平摊复杂度为logN。
1、自底向上的伸展树
伸展操作Splay(x,S)是在保持伸展树有序性的前提下，通过一系列旋转操作将伸展树S中的元素x调整至树的根部的操作。
在旋转的过程中，要分三种情况分别处理：
(1)Zig 或 Zag
(2)Zig-Zig 或 Zag-Zag
(3)Zig-Zag 或 Zag-Zig
1.1、Zig或Zag操作
节点x的父节点y是根节点。
1.2、Zig-Zig或Zag-Zag操作
节点x的父节点y不是根节点，且x与y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。
1.3、Zig-Zag或Zag-Zig操作
节点x的父节点y不是根节点，x与y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。
2、自顶向下的伸展树
在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
(1)当前节点X是中树的根。
(2)左树L保存小于X的节点。
(3)右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
2.1、Zig操作
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。
2.2、Zig-Zig操作
这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。
2.3、Zig-Zag操作
这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的，然后变成上图右边所示的形状。此时，就与Zag(与Zig相反)的情况一样了。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
2.4、示例：
下面是一个查找节点19的例子。在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
3、实现
3.1、splay操作
代码
tree_node N, * l, * r, * y;
if (t == NULL)
return t;
N.left = N.right = NULL;
l = r = & N;
for (;;)
{
if (i < t -> item)
{
if (t -> left == NULL)
break ;
if (i < t -> left -> item)
{
y = t -> left; /* rotate right */
t -> left = y -> right;
y -> right = t;
t = y;
if (t -> left == NULL)
break ;
}
r -> left = t; /* link right */
r = t;
t = t -> left;
} else if (i > t -> item)
{
if (t -> right == NULL)
break ;
if (i > t -> right -> item)
{
y = t -> right; /* rotate left */
t -> right = y -> left;
y -> left = t;
t = y;
if (t -> right == NULL)
break ;
}
l -> right = t; /* link left */
l = t;
t = t -> right;
} else {
break ;
}
}
l -> right = t -> left; /* assemble */
r -> left = t -> right;
t -> left = N.right;
t -> right = N.left;
return t;
}
Rotate right(查找10)：
Link right：
Assemble：
Rotate left(查找20)：
Link left：
3.2、插入操作
代码
**将i插入树t中,返回树的根结点(item值==i)
*/
tree_node * ST_insert( int i, tree_node * t) {
/* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node * node;
node = (tree_node * ) malloc ( sizeof (tree_node));
if (node == NULL){
printf( " Ran out of space\n " );
exit( 1 );
}
node -> item = i;
if (t == NULL) {
node -> left = node -> right = NULL;
size = 1 ;
return node;
}
t = splay(i,t);
if (i < t -> item) { // 令t为i的右子树
node -> left = t -> left;
node -> right = t;
t -> left = NULL;
size ++ ;
return node;
} else if (i > t -> item) { // 令t为i的左子树
node -> right = t -> right;
node -> left = t;
t -> right = NULL;
size ++ ;
return node;
} else {
free(node); // i值已经存在于树t中
return t;
}
}
3.3、删除操作
**从树中删除i,返回树的根结点
*/
tree_node * ST_delete( int i, tree_node * t) {
/* Deletes i from the tree if it's there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node * x;
if (t == NULL)
return NULL;
t = splay(i,t);
if (i == t -> item) { /* found it */
if (t -> left == NULL) { // 左子树为空,则x指向右子树即可
x = t -> right;
} else {
x = splay(i, t -> left); // 查找左子树中最大结点max,令右子树为max的右子树
x -> right = t -> right;
}
size -- ;
free(t);
return x;
}
return t; /* It wasn't there */
}
完整代码：
代码
#include < stdlib.h >
int size; // 结点数量
#define NUM 20
typedef struct tree_node{
struct tree_node * left;
struct tree_node * right;
int item;
}tree_node;
tree_node * splay ( int i, tree_node * t) {
tree_node N, * l, * r, * y;
if (t == NULL)
return t;
N.left = N.right = NULL;
l = r = & N;
for (;;)
{
if (i < t -> item)
{
if (t -> left == NULL)
break ;
if (i < t -> left -> item)
{
y = t -> left; /* rotate right */
t -> left = y -> right;
y -> right = t;
t = y;
if (t -> left == NULL)
break ;
}
r -> left = t; /* link right */
r = t;
t = t -> left;
} else if (i > t -> item)
{
if (t -> right == NULL)
break ;
if (i > t -> right -> item)
{
y = t -> right; /* rotate left */
t -> right = y -> left;
y -> left = t;
t = y;
if (t -> right == NULL)
break ;
}
l -> right = t; /* link left */
l = t;
t = t -> right;
} else {
break ;
}
}
l -> right = t -> left; /* assemble */
r -> left = t -> right;
t -> left = N.right;
t -> right = N.left;
return t;
}
/*
**将i插入树t中,返回树的根结点(item值==i)
*/
tree_node * ST_insert( int i, tree_node * t) {
/* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node * node;
node = (tree_node * ) malloc ( sizeof (tree_node));
if (node == NULL){
printf( " Ran out of space\n " );
exit( 1 );
}
node -> item = i;
if (t == NULL) {
node -> left = node -> right = NULL;
size = 1 ;
return node;
}
t = splay(i,t);
if (i < t -> item) { // 令t为i的右子树
node -> left = t -> left;
node -> right = t;
t -> left = NULL;
size ++ ;
return node;
} else if (i > t -> item) { // 令t为i的左子树
node -> right = t -> right;
node -> left = t;
t -> right = NULL;
size ++ ;
return node;
} else {
free(node); // i值已经存在于树t中
return t;
}
}
/*
**从树中删除i,返回树的根结点
*/
tree_node * ST_delete( int i, tree_node * t) {
/* Deletes i from the tree if it's there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node * x;
if (t == NULL)
return NULL;
t = splay(i,t);
if (i == t -> item) { /* found it */
if (t -> left == NULL) { // 左子树为空,则x指向右子树即可
x = t -> right;
} else {
x = splay(i, t -> left); // 查找左子树中最大结点max,令右子树为max的右子树
x -> right = t -> right;
}
size -- ;
free(t);
return x;
}
return t; /* It wasn't there */
}
void ST_inoder_traverse(tree_node * node)
{
if (node != NULL)
{
ST_inoder_traverse(node -> left);
printf( " %d " , node -> item);
ST_inoder_traverse(node -> right);
}
}
void ST_pre_traverse(tree_node * node)
{
if (node != NULL)
{
printf( " %d " , node -> item);
ST_pre_traverse(node -> left);
ST_pre_traverse(node -> right);
}
}
void main() {
/* A sample use of these functions. Start with the empty tree, */
/* insert some stuff into it, and then delete it */
tree_node * root;
int i;
root = NULL; /* the empty tree */
size = 0 ;
for (i = 0 ; i < NUM; i ++ )
root = ST_insert(rand() % NUM, root);
ST_pre_traverse(root);
printf( " \n " );
ST_inoder_traverse(root);
for (i = 0 ; i < NUM; i ++ )
root = ST_delete(i, root);
printf( " \nsize = %d\n " , size);
}