poj1160

　　　题目大意：在一个一维坐标轴上有v个(1<=v<=300)村庄，要建p(1<=p<=30)个邮局，每个村庄都到最近的邮局，要求最小的距离和。

　　   四边形不等式，据说黑书上写得很高深。

　　　描述是这样的：令(a<=b<=c<=d，i<=k<j)，若w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]+w[b][c]，m[i][j]=min OR max{m[i][k]+m[k+1][j]+w[i][j]}则m[a][c]+m[b][d]<=m[a][d]+m[b][c]。

　　　对于这个式子，个人觉得没必要深究，读者读读题目就应该知道自己要求的m[i][j]定义，取min或者max。我也不会证明，只能弱弱感受到是这么回事。（毕竟那些都不重要，因为不涉及最后求解结果）

　　   最重要的是这个式子，假设s[i][j]是对应取到m[i][j]的最优解（s当然是solution的意思了，关于解的描述要细细考虑，因为它并不用是一种很确切的表示，只需要是一个关键的量就可以）。PS：我觉得，我要是不解释这个关键量，很多人肯定会黑我的，但是我真的不知道怎么表达。看代码中的注解吧。

　　  四边形不等式最大优化是s[i][j]一定介于s[k=i-1 或者 k=i+1][j]、s[i][j+1]之间。（也有很多博客上写成s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]）这样对于我们搜索关于s[i][j]的值时范围大大缩短了。对于s[i][max_(i)]可以用我们通常容易想到的dp方程线性效率解决。而s[i][1]到s[i][max_(i)-1]这一段的解，总共的效率可以缩短到线性。　

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstdio>

 3 #include <cstring>

 4 #include <algorithm>

 5 using namespace std;

 6 const int infinity=(-1)^(1<<31);

 7 const int V=305;

 8 const int P=35;

 9 int dp[V][P], s[V][P];

10 int atx[V],sum[V];

11 inline int setat(int i,int j){

12     return (i+j)>>1;

13 }

14 int move_all(int fr,int ba){

15     //printf("move from %d to %d = %d\n",fr,ba,(sum[ba]-sum[fr])-atx[fr]*(ba-fr));

16     return (sum[ba]-sum[fr])-atx[fr]*(ba-fr);

17 }

18 int S(int i,int j){

19     int pos=setat(i,j);

20     int ret=move_all(pos,j);

21     ret += (atx[pos]-atx[i])*(pos-i+1)-move_all(i,pos);

22     return ret;

23 }

24 int DP(int v,int p){

25     sort(atx+1,atx+1+v);

26     for(int i=v;i>=1;i--) atx[i]-=atx[1];

27     for(int i=1;i<=v;i++) sum[i]=sum[i-1]+atx[i];

28     //for(int i=1;i<=v;i++) printf("%3d ",atx[i]); printf("\n");

29     for(int i=1;i<=v;i++)

30         dp[i][1]=S(1,i), s[i][1]=setat(1,i); //printf("1 --> %4d, %d\n",i,dp[i][1]);

31     if(p >= 2)

32     for(int i=2;i<=v;i++){

33         int maxj=min(i,p);

34         dp[i][maxj]=infinity;

35         for(int k=maxj-1;k<i;k++)

36         if(dp[k][maxj-1]+S(k+1,i) < dp[i][maxj])

37             dp[i][maxj]=dp[k][maxj-1]+S(k+1,i), s[i][maxj]=k;

38         //printf("dp[%d][%d] = %d, s[i][maxj] = %d\n",i,maxj,dp[i][maxj],s[i][maxj]);

39         for(int j=maxj-1;j>=2;j--){

40             dp[i][j]=infinity;

41             for(int k=s[i-1][j];k<=s[i][j+1];k++)

42             if(dp[k][j-1]+S(k+1,i) < dp[i][j]){

43                 dp[i][j]=dp[k][j-1]+S(k+1,i);

44                 s[i][j]=k;

45             }

46         }

47     }

48     return dp[v][p];

49 }

50 int main()

51 {

52     int v,p;

53     while(scanf("%d%d",&v,&p) != EOF){

54         for(int i=1;i<=v;i++)

55             scanf("%d",&atx[i]);

56         printf("%d\n",DP(v,p));

57     }

58     return 0;

59 }

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　　个人觉得，在很多性质上，它跟斜率优化dp很像，甚至可以说斜率优化dp是最特殊的一类四边形不等式dp。斜率优化的dp中，最优化只根一个值有关，因为它保持后来无关单调。四边形不等式，把最优解的可选方案限制起来。

　　我也是四边形不等式的初学者，希望路过的大牛不吝赐教。