位图排序（位图技术应用）

 

       1.  问题描述

         给定不大于整数 n 的 k 个互不相等的整数 ( k <n ) ， 对这些整数进行排序。本文讨论的内容具体可参见《编程珠玑》（第二版）的第一章。

 

        2.  问题分析

        关于排序，已经有多种排序方法了：插入排序，归并排序，快速排序，希尔排序等。每种排序都有不同的用武之地。为什么需要位图排序呢？所有的内部排序（上述所提及）都必须一次性将所有排序元素载入内存。假如有1000,000个整数，每个整数4字节，则意味着，至少需要4000,000B 约为 4MB 的内存空间， 如果仅仅只有 1MB 的内存空间可用，那么，应该怎么办呢？

        很多问题都有通用的求解策略，而在通用之外，常常需要根据问题的实际需求及特征挖掘有针对性的解决方案。这里的特征是，所有整数均不大于 n , 并且整数互不重复。怎么利用这一特征呢？

        可以采用位图技术。所谓位图技术，就是将问题映射到位串上，对位串进行处理后，再将位串逆射到问题空间上。具体而言， 假设要对数组 不大于 20 的元素数组 [5, 2, 12, 18, 7, 9, 13, 19, 16, 4, 6] 进行排序， 则可以将其映射到位串 11010011001001110100 ，其中， 1 表示数组元素出现的位置（最高位在后面，最低位在左边，以下标0起头），然后，从低位往高位扫描， 即可得到 { 2, 4, 5, 6, 9, 12,13,16,18,19} 这样就排序好了。根据位图技术， 1000,000 个互不重复的整数数组的排序， 只需要大约 1000,000 b = 0.125MB 内存空间。

 

       3.  详细设计

         [ 1 ]  输入： 一个未排序的数组， 数组中的各数互不相等， 都不大于某个整数 n , 且稠密地分布在[0, n-1] 的区间中

         [ 2 ]  输出： 一个已排序的数组

         [ 3 ]  数据结构： 位向量。 位图排序的关键在于位向量的实现。位向量有“置一”、“清零”、“测试位是否为1”等操作。从实现角度，可以使用一个整型数组来实现（因为在Java中，移位、按位运算都是以整数为基本单位），这意味着，每32位为一组。 位向量长度最好取为 32 的倍数， 以方便编程。 假设有 64位， 那么对第59位置1,  59/32 = 1 ， 59 %32 = 27；这意味着，需要对第1组 a[1] 的第 27 位进行置位。 除以32 可使用 右移 5 位 （ i >> 5） 来实现， 对 32 取模， 可以通过 1 << ( i & 0x1f )  来实现。 剩下的，就是细节问题了，比如，确保边界不出错。位串方向规定为： a[p]a[p-1]...a[1]a[0] , p = N / 32; N 为不小于 n 的 32 倍数的最小整数。 a[p] 为最高位的32位， a[0] 为最低位的32位。

 

        4.   算法描述

          STEP1： 根据问题描述确定位向量的位数， 初始化位向量bv；

          STEP2： 对于数组的每一个元素，用其数值作为位置，对位向量的相应位置 1；

          STEP3： 从低位向高位扫描，对位向量的每一位，若位为1, 则输出该位的位置下标，作为最终排序数组的元素值。

  

       5.   Java 代码实现     

package datastructure.vector;



/**

 * 实现 n 维位向量 

 *

 */

public class NBitsVector {

    

     private static final int BITS_PER_INT = 32;

     private static final int SHIFT = 5;

    

     // 将一个整型数组中的所有整数的位串联成一个位向量

     private int[] bitsVector;

     

     // 位向量的总位数

     private int bitsLength;

     

     public NBitsVector(int n) {

         int i = 1;

         while (i * BITS_PER_INT < n) { i++;}

         this.bitsLength = i * BITS_PER_INT;

         if (bitsVector == null) {

             bitsVector = new int[i];

         }

         

     }

     

     /**

      * setBit: 将位向量的第 i 位置一

      * @param i  要置位的位置

      */

     public void setBit(int i) {

         bitsVector[i >> SHIFT] |= 1 << (i & 0x1f);

     }

     

     /**

      * clrBit: 将位向量的第 i 位清零

      * @param i 要清零的位置

      */

     public void clrBit(int i) {

         bitsVector[i >> SHIFT] &= ~(1 << (i & 0x1f));

     }

     

     /**

      * testBit: 测试位向量的第 i 位是否为 1

      * @param i 测试位的位置

      * @return 若位向量的第 i 位为 1, 则返回true, 否则返回 false

      */

     public boolean testBit(int i) {

         return (bitsVector[i >> SHIFT] & 1 << (i & 0x1f)) != 0;

     }

     

     

     /**

      * clr: 位向量全部清零

      */

     public void clr() {

        int vecLen = bitsVector.length;

        for (int i = 0; i < vecLen; i++) {

            bitsVector[i] = 0;

        }

     }

     

     /**

      * getBitsLength: 获取位向量的总位数

      */

     public int getBitsLength() {

        return bitsLength;

    }



    /**

      * 获取给定整数 i 的二进制表示， 若高位若不为 1 则补零。 

      * @param i 给定整数 i

      */

     public String intToBinaryStringWithHighZero(int i) {

         String basicResult = Integer.toBinaryString(i); 

         int bitsForZero = BITS_PER_INT - basicResult.length();

         StringBuilder sb =  new StringBuilder("");

         while (bitsForZero-- > 0) {

             sb.append('0');

         }

         sb.append(basicResult);

         return sb.toString();

     }

     

     public String toString() {

         StringBuilder sb = new StringBuilder("Bits Vector: ");

         for (int i = bitsVector.length-1; i >=0 ; i--) {

             sb.append(intToBinaryStringWithHighZero(bitsVector[i]));

             sb.append(" ");

         }

         return sb.toString();

     }

     

     public static void main(String[] args) 

     {

         NBitsVector nbitsVector = new NBitsVector(64);

         nbitsVector.setBit(2);

         System.out.println(nbitsVector);

         nbitsVector.setBit(7);

         nbitsVector.setBit(18);

         nbitsVector.setBit(25);

         nbitsVector.setBit(36);

         nbitsVector.setBit(49);

         nbitsVector.setBit(52);

         nbitsVector.setBit(63);

         System.out.println(nbitsVector);

         nbitsVector.clrBit(36);

         nbitsVector.clrBit(35);

         System.out.println(nbitsVector);

         System.out.println("52: " + nbitsVector.testBit(52));

         System.out.println("42: " + nbitsVector.testBit(42));

         nbitsVector.clr();

         System.out.println(nbitsVector);

     }

     

}

package algorithm.sort;



import java.util.Arrays;



import datastructure.vector.NBitsVector;



/**

 * 位图排序

 *

 */

public class BitsMapSort {

    

    private NBitsVector nBitsVector; 

    

    public BitsMapSort(int n) {

        if (nBitsVector == null) {

            nBitsVector = new NBitsVector(n);

        }

    }

    

    public int[] sort(int[] arr) throws Exception {

        if (arr == null || arr.length == 0) {

            return null;

        }

        nBitsVector.clr();

        int arrLen = arr.length;

        for (int i=0; i < arrLen ; i++) {

            if (arr[i] < 0 || arr[i] > nBitsVector.getBitsLength()-1) {

                throw new Exception("给定整数 " + arr[i] + " 超过范围，请检查输入");

            }

            if (nBitsVector.testBit(arr[i])) {

                throw new Exception("存在重复整数: " + arr[i] + " ，请检查输入！");

            }

            nBitsVector.setBit(arr[i]);        

        }

        int bitsLength = nBitsVector.getBitsLength();

        int count = 0;

        for (int i=0; i < bitsLength; i++) {

            if (nBitsVector.testBit(i)) {            

                arr[count++] = i;

            }

        }

        return arr;

    }

    

    public static int maxOfArray(int[] arr)

    {

        int max = arr[0];

        for (int i=1; i < arr.length; i++) {

            if (arr[i] > max) {

                max = arr[i];

            }

        }

        return max;

    }

    

    public static void test(int[] arr) 

    {

        try {

            // 63 可以改为 数组最大值 maxOfArray(arr)

            BitsMapSort bms = new BitsMapSort(64);

            System.out.println("排序前： " + Arrays.toString(arr));

            int[] sorted = bms.sort(arr);

            System.out.println("排序后： " + Arrays.toString(sorted));

        }

        catch(Exception e) {

            System.out.println(e.getMessage());    

        }

    }

    

    public static void main(String[] args) 

    {

        int[] empty = null;

        test(empty);

        empty = new int[0];

        test(empty);

        

        int[] unsorted = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 10, 25, 37, 48, 13};

        test(unsorted);

        int[] unsorted2 =  new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 7, 25, 37, 48, 13};

        test(unsorted2);

        int[] unsorted3 =  new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 72, 25, 37, 48, 13};

        test(unsorted3);

    }



}

 

　　6.  C 源程序：

/*

 * bitvec.c : N维位向量的实现

 * author: shuqin1984  2011-08-31

 */



#include <assert.h>



#define N  10000000

#define M  ((N%32==0) ? (N/32) : (N/32+1))

#define SHIFT 5

#define mod32(n)  ((n) - (((n) >> SHIFT) << SHIFT))



int bitvec[M];  // N维位向量用 M个整数的数组来实现 



int test(int i);    // 测试位向量的位 i 是否为 1

void set(int i);    // 将位向量第 i 位置 1

void clear(int i);  // 将位向量第 i 位清零

void clearAll();    // 将位向量所有位清零 

void show();        // 显示位向量的当前值

void printb(int x, int i);  // 打印正整数 x 的第 i 位二进制 

void printbz(int x, int n); // 打印正整数的二进制表示(从低位数起的n位)，若位数不够前面补零 



int test(int i)

{

    assert(i >= 0);

    return (bitvec[i>>SHIFT] & (1 << mod32(i))) != 0;

}



void set(int i)

{

    assert(i >= 0);

    bitvec[i>>SHIFT] |= (1 << mod32(i));

}



void clear(int i)

{

    assert(i >= 0);

    bitvec[i>>SHIFT] &= ~(1 << mod32(i));

}



void clearAll()

{

    int i;

    for (i = 0; i < M; i++) {

       bitvec[i] = 0;

    }     

}



void show()

{

     int i = 0;

     if (M == 1) {

         printbz(bitvec[i], N);     

     }

     else {

         int bits = (N%32==0)? 32: (N%32);

         printbz(bitvec[M-1], bits); 

         for (i=M-2; i >=0 ; i--) {

             printbz(bitvec[i], 32);

         } 

     }

     printf("\n");

}



void printb(int x, int i)

{

    printf("%c", '0' + ((((unsigned)x) & (1 << i)) >> i));    

}



void printbz(int x, int n)

{

   int i;

   for (i = n-1; i >= 0; i--) {

      printb(x, i);

   }

}

/*

 * bitsort.c: 实现位图排序并测量运行时间 

 * author: shuqin1984 2011-8-31

 */



#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

#include <assert.h>

#include <limits.h>

#include "bitvec.c"



#define MAX_LEN  10



void bitsort(char* filename);

void bitsortf();

void runtime(void (*f)());

void testdata(int, int);

int randRange(int low, int high);



int main()

{

    srand(time(0));

    printf("sizeof(int) = %d\n", sizeof(int));

    printf("RAND_MAX = %d\n", RAND_MAX);

    printf("INT_MAX = %d\n", RAND_MAX);

    

    runtime(bitsortf);

    

    getchar();

    return 0;

}





/*

 * 从指定文件名中读取数据，并进行排序，最后将排序后的数据写入 output.txt 中 

 */

void bitsort(char* filename)

{

     int i;

     char buf[MAX_LEN];

     

     FILE* fin = fopen(filename, "r");

     if (fin == NULL) {

         fprintf(stderr, "can't open file: %s", filename);

         exit(1);

     }

     while (fgets(buf, MAX_LEN, fin)) {

         set(atoi(buf));      

     }

     fclose(fin);

     

     // show();

     

     FILE* fout = fopen("output.txt", "w");

     if (fout == NULL) {

         fprintf(stderr, "can't open file: %s", "output.txt");

         exit(1);

     }

     for (i = 0; i < N; i++) {

         if (test(i)) {

             fprintf(fout, "%d\n", i);             

         }

     }

     fclose(fout);

     

     printf("---------- sort successfully ---------------");

     printf("\n");

     

}



void  bitsortf()

{

      bitsort("data.txt");

}



void  runtime(void (*f)())

{

      printf("runtime ... \n");

      int scale = 10;

      while (scale <= N) {

         testdata(scale, N);  

         clock_t start = clock();

         (*f)();

         clock_t end = clock();

         printf("scale: %d\t cost : %8.4f\n", scale, (double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);

         printf("---------------------------------------------------");

         printf("\n");

         scale *= 10;

      }

}



/*

 *  创建测试数据：选出不大于 max 的 num 个正整数，并写入文件 data.txt 中  

 */

void testdata(int num, int max)

{

     int i;

     

     assert(num <= max);

     

     FILE* fout = fopen("data.txt", "w");

     if (fout == NULL) {

         fprintf(stderr, "can't open file: %s", "data.txt");

         exit(1);

     }

     for (i = 0; i < num; i++) {

        fprintf(fout, "%d\n", (rand()*rand()) % max);

     }

     fclose(fout);

     printf("---------- testdata successfully ---------------");

     printf("\n");

}

    

    /*

     * randRange: 生成给定范围的随机整数

     */

    int randRange(int low, int high)

    {

        assert (high <= low) ;

        return rand() % (high-low) + low;    

    }　

 

     7.  额外说明

     位图技术，可以说是一种非常有效的求解技术，在文件管理中就有应用到， 其作用类似于二分搜索技术。位图技术还能检测重复整数，缺失整数，比如在 43亿多个不大于2^32的随机整数排列中寻找一个重复整数（根据抽屉原理知必然存在）。在读书时，不仅要汲取问题的求解方案，还要领悟背后的通用技术。

     如果问题不是对整数数组排序，而是对一系列记录排序，怎么利用已有算法呢？ 可以通过某种函数对记录的关键字进行计算，得到互不重复的整数（这个过程类似于散列法），然后，使用位图技术对整数数组进行排序。