【Tsinghua OJ】多米诺骨牌(domino)问题

（domino.c/cpp）
【问题描述】
　　小牛牛对多米诺骨牌有很大兴趣，然而她的骨牌比较特别，只有黑色和白色的两种。她觉 得如果存在连续三个骨牌是同一种颜色，那么这个骨牌排列便是不美观的。现在她有n个骨牌要来排列，她想知道不美观的排列的个数。由于数字较大，数学不好的 她不会统计，所以请你来帮忙。希望你帮她求出不美观的排列的个数。

【输入数据】
　　只有一个正整数，即要排列的骨牌个数。
【输出数据】
　　一个数，即不美观的排列个数。
【样例输入】
4
【样例输出】
6
【样例解释】
　　有四种不美观的排列。
　　黑黑黑黑，白白白白，黑黑黑白，白白白黑，黑白白白，白黑黑黑
【数据范围】
　　20%的数据，n<=60；
　　50%的数据，n<=6000；
　　100%的数据，n<=10000。

　　时间限制： 1 sec
　　空间限制： 256 MB
【提示】
　　动态规划、高精度加法。

—————————————————————————————————

【solution】
虽然只是Tutorial里面的题，虽然听说现在是小学僧的练习题（T_T），不过还真是想了辣么一会儿。算算真是已经有4年多没碰过这些东西了，为了完成这门课作业也真是找回了当初的感觉，真是怀念这种一道一道题“过关斩将”的感觉，已经很久不曾有这种感觉了。

回到正题。这道题初看很容易去正向考虑如何统计“不美观”的排列个数，甚至会误入使用组合数学的错误算法。根据提示，往动态规划方面想，会发现，实 际上，这道题需要反向来思考，即考虑“美观”的排列个数。那么，题目转化为求解连续颜色不超过3（不包括3）的排列个数 a，然后再用所有的排列个数（2^n）减去 a 即得问题解。再细想，这不跟动态规划的经典问题——上楼梯问题 很像吗？

于是，问题得解：
对于每一个色块（连续的 1 个或者 2 个相同颜色的白色或者黑色色块），就相当于上楼梯问题中的上升一阶或者两阶，所以这里其实我们完全可以忽略到颜色这个因素（最后再把得到的上阶梯的总数乘 以2，因为把所有的色块全部反转一次颜色都可以得到原来那种的状态的 twin solution，而上楼梯问题并未考虑颜色问题，只是简单的划分为一次动作，这个问题正是因为颜色来划分的），而是把一个色块等同为上楼梯问题中的一次 动作。
状态方程为：f[n] = f[n-1] + f[n-2]。初始条件 f[1] = 1; f[2] = 2。
也就是不严格对应项数的著名的斐波拉契数列。
最后的结果为 2^n - 2*f[n]。

由于问题数据规模较大，最后还要用高精度加法来实现。

【source code】

  1 #include <stdio.h> 

  2 

  3 #define L 6001

  4 #define wei 208 

  5 

  6 void echo(int ans)        //make sure printing a 4-wei number，此函数可以用格式控制方式： printf("%04d", ans); 简单代替。C++中类似使用setfill('0') setw(30)等

  7 {

  8     if (ans > 999)

  9     {

 10         printf("%d", ans);

 11     }

 12     else if (ans > 99)

 13     {

 14         printf("0%d", ans);

 15     }

 16     else if (ans > 9)

 17     {

 18         printf("00%d", ans);

 19     }

 20     else

 21     {

 22         printf("000%d", ans);

 23     }

 24 } 

 25 

 26 int main(void)

 27 {

 28     int n, i, j, temp, pro = 0, cn = 0, an[L] = { 0 }, a[L][wei] = { 0 }, c[wei] = { 0 }, ans[wei] = { 0 };

 29     bool zero = false; 

 30 

 31     scanf("%d\n", &n);  

 32 

 33     //bases for a, c and an, cn

 34     a[3][0] = 3; a[2][0] = 2; c[0] = 1;  

 35 

 36     //a[n] = a[n-1] + a[n-2]

 37     for (i = 4; i <= n; i++)

 38     {

 39         //Gao Jin Du Jia Fa

 40         pro = 0;

 41         for (j = 0; j <= an[i - 1]; j++)

 42         {

 43             temp = a[i - 1][j] + a[i - 2][j] + pro;

 44             a[i][j] = temp % 10000;

 45             pro = temp  / 10000;

 46         }

 47         if (pro > 0)

 48         {

 49             a[i][j] = pro;

 50             an[i] = j;

 51         }

 52         else an[i] = an[i - 1];

 53     } 

 54 

 55     // 2^n

 56     for (i = 0; i < n; i++)

 57     {

 58         //Gao Jin Du Jia Fa

 59         pro = 0;

 60         for (j = 0; j <= cn; j++)

 61         {

 62             temp = c[j] * 2 + pro;

 63             c[j] = temp % 10000;

 64             pro = temp / 10000;

 65         }

 66         if (pro > 0)

 67         {

 68             c[j] = pro;

 69             cn++;

 70         }

 71     } 

 72 

 73     //ans = 2^n - a[n] *2, Gao Jin Du Jia Fa

 74     pro = 0;

 75     for (j = 0; j <= an[n]; j++)

 76     {

 77         temp = a[n][j] * 2 + pro;

 78         a[n][j] = temp % 10000;

 79         pro = temp / 10000;

 80     }

 81     if (pro > 0)

 82     {

 83         an[n]++;

 84         a[n][j] = pro;

 85      } 

 86 

 87     pro = 0;

 88     for (j = 0; j <= cn; j++)

 89     {

 90         temp = c[j] - a[n][j] + pro;

 91         if (temp < 0)

 92         {

 93             ans[j] = temp + 10000;

 94             pro = -1;

 95         }

 96         else

 97         {

 98             ans[j] = temp;

 99             pro = 0;

100         }

101     } 

102 

103     //print the answer, ignoring the zeros in the front

104     for (i = cn; i >= 0; i--)

105     {

106         if (!zero)

107         {

108             if (ans[i] != 0)

109             {

110                 printf("%d", ans[i]);

111                 zero = true;

112             }

113         }

114         else echo(ans[i]);

115     }

116     printf("\n"); 

117 

118     return 0;

119 }

【代码改进空间】
1、将高精度算法函数化;
2、仍然只能通过 Tsinghua Online Judge 40%的数据，其他数据都是Runtime error (exitcode: 11)，暂无果。

【优化后AC的代码】
感谢@Plan能抽出时间来AC这道题，同时找到了字符串的高精度加法解决办法，过了100%的数据。以下是参考了她的代码后自己重新几乎是照着写的代码（求2^n的函数从递归形式改成了循环版）：

  1 #include <stdio.h>

  2 #include <string.h>

  3 #include <stdlib.h>  

  4 

  5 char *add(char a[], char b[])

  6 {

  7     int len, i, j, k, up, x, y, z;

  8     char *c, *back;

  9 

 10     len = (strlen(a) > strlen(b)) ? strlen(a) + 2 : strlen(b) + 2;

 11     c = (char *)malloc(len*sizeof(char));

 12     back = (char *)malloc(len*sizeof(char));

 13 

 14     i = strlen(a) - 1;

 15     j = strlen(b) - 1;

 16     k = 0; up = 0;

 17 

 18     while (i >= 0 || j >= 0)

 19     {

 20         if (i<0) x = '0'; else x = a[i];

 21         if (j<0) y = '0'; else y = b[j];

 22         z = x - '0' + y - '0';

 23         if (up == 1) z += 1;

 24         if (z>9) 

 25         { 

 26             up = 1; z %= 10; 

 27         }

 28         else up = 0;

 29         c[k++] = z + '0';

 30         i--; j--;

 31     }

 32     if (up) c[k++] = '1';

 33     c[k] = '\0'; 

 34     

 35     //reverse

 36     i = 0;

 37     for (k -= 1; k >= 0; k--) back[i++] = c[k];   

 38     back[i] = '\0';

 39 

 40     return back;

 41 }

 42 

 43 char *sub(char a[], char b[])

 44 {

 45     int len, i, j, k, down, x, y, z;

 46     char *c, *back;

 47 

 48     len = strlen(a);

 49     c = (char *)malloc(len*sizeof(char));

 50     back = (char *)malloc(len*sizeof(char));

 51 

 52     i = strlen(a) - 1;

 53     j = strlen(b) - 1;

 54     k = 0; down = 0;

 55 

 56     while (i >= 0 || j >= 0)

 57     {

 58         if (i<0) x = '0'; else x = a[i];

 59         if (j<0) y = '0'; else y = b[j];

 60         z = x - '0' - (y - '0') - down;

 61         if ( z < 0 )

 62         {

 63             down = 1;

 64             z = z + 10;

 65         }

 66         else down = 0;

 67         c[k++] = z + '0'; 

 68         i--; j--;

 69     }

 70     while (c[--k] == '0') ;

 71 

 72     //reverse

 73     i = 0;

 74     for (k; k >= 0; k--)

 75     {

 76         back[i++] = c[k];

 77     }

 78 

 79     return back;

 80 }

 81 

 82 char *power(int n)

 83 {

 84     int i;

 85     char *temp="2";

 86     

 87     for (i = 2; i <= n; i++)

 88     {

 89         temp = add(temp, temp);

 90     }

 91 

 92     return temp;

 93 }

 94 

 95 char *fib(int n)

 96 {

 97     char *p = "1", *q = "1";

 98     char *s = "1";

 99     int i;

100 

101     for (i = 0; i < n - 1; i++)

102     {

103         s = add(p, q);

104         p = q;

105         q = s;

106     }

107 

108     return s;

109 }

110 

111 int main()

112 {

113     int n;

114     char *mi, *f;

115 

116     scanf("%d\n", &n);

117 

118     mi = power(n);

119     f = fib(n);

120     f = add(f, f);

121 

122     printf("%s\n", sub(mi, f));

123 

124     return 0;

125 }

【参考资料】
1：http ://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/22/2113836.html 高精度加法的C++实现；
2：http://blog.sina.com.cn/s/blog_993d2542010143qw.html Fibonacci数列的第N项 log(N)算法（未用到）。

有几点：
1）由于数据规模，四位进一次位的int版高精也无法AC掉所有数据，只能用string来解决了。
2）要注意高精度运算string的顺序是不是跟数字顺序一致，所以代码中有reverse操作。