压缩感知重构算法之正交匹配追踪算法（OMP）

算法的重构是压缩感知中重要的一步，是压缩感知的关键之处。因为重构算法关系着信号能否精确重建，国内外的研究学者致力于压缩感知的信号重建，并且取得了很大的进展，提出了很多的重构算法，每种算法都各有自己的优缺点，使用者可以根据自己的情况，选择适合自己的重构算法，大大增加了使用的灵活性，也为我们以后的研究提供了很大的方便。

压缩感知的重构算法主要分为三大类：

1.组合算法   2.贪婪算法  3.凸松弛算法

三种算法对比分析如下：

算法类别	定义	优缺点	具体算法
贪婪算法	贪婪算法首先选取合适的原子，再逐步进行递增，进而逼近信号矢量，利用这种过程进行	计算量和精度的要求居中，也是三种重构算法中应用最大的一种	(1)匹配追踪算法 (2)正交匹配追踪算法 (3)分段正交匹配追踪算法 (4)正则化正交匹配追踪算法 (5)稀疏自适应匹配追踪算法
组合算法	先是对信号进行结构采样，然后再通过对采样的数据进行分组测试，最后完成信号的重构	需要观测的样本数目比较多但运算的效率最高	(1) 傅里叶采样 (2) 链式追踪算法 (3)  HHS追踪算法
凸松弛算法	法，它将非凸问题转化为凸问题进行求解，即l0范数转化成l1范数并采用线性规划来求解	计算量大但是需要观测的数量少重构的时候精度高	(1)基追踪算法 (2)最小全变差算法 (3)内点法 (4)梯度投影算法 (5)凸集交替投影算法

本篇主要介绍正交匹配追踪算法（OMP）

1、OMP算法的原理

OMP算法是在MP算法的基础上进行改进的，沿用了MP算法的重构的思想，但是又对MP算法进行了改进，使得算法的效率更高，应用更加的广泛。

MP算法的信号分解中步骤中介绍：，这说明信号在已经选择的原子上的投影（等是右边第一项）是非正交的，还存在着残差，也就是说每次迭代的过程是次最优的，不是最优解，要想最终的迭代收敛，需要的迭代次数较多。OMP算法就是根据MP算法的不足之处加以改进，把所选择的原子首先通过Schimidt正交化处理，使得在达到迭代条件的时候需要的迭代次数较MP算法少，但是正交化的过程中会增加计算量。

OMP算法正交化原理：

2、OMP算法的流程图 

算法流程图如下：

 3、OMP算法的算法步骤

算法步骤如下：

 4、OMP算法的信号重构

本节对OMP算法进行重构，采用一维离散信号和二维lena信号对其进行信号重构，来观察OMP算法的重构功能。

（1）一维离散信号的OMP算法仿真

  本次仿真使用matlab随机生成的一维离散信号，稀疏度k=15,信号长度N=512，观测向量的长度M=128，那么采样率M/N=0.25，其中的观测矩阵是高斯随机矩阵。采用OMP算法对一维信号进行重构，重构图如1：

 图1：OMP算法重构一维信号

通过上面的重构可以得出，OMP算法对一维信号有很好的重构作用。

（2）二维lena图像的OMP算法重构

OMP算法对二维信号进行重构，在这里我们采取和MP算法二维信号重构的方法，也是先采取离散余弦变换（dct）使数据稀疏，算法重构结束之后再进行离散反余弦变换（idct），这样就转化为了我们所需要的。本次在matlab中的仿真，我们采用的是256X256的Lena的二维图像，M=180，N=256，稀疏度k=40，M/N=0.7，观测矩阵是高斯随机矩阵，采用OMP算法对二维图像进行重构，重构效果如图：