高数一（上册）复习

前言

好久没碰博客了
也从高中生变成了大学牲（
随便写写
权当复习

正文

等价无穷小

$x\to 0$时
$$\begin{gathered} \arcsin x\sim \sin x\sim \arctan x\sim \tan x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2 \\ (1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x \\ \ln (1+x)\sim x \\ {e}^x-1\sim x \end{gathered}$$
注意：等价无穷小的应用条件
1.里面的x（或是式子）必须趋于0
2.只能替换乘除的因子

另外，牢记无穷小*有界量=无穷小

常用积分公式

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$$
$$\begin{gathered} \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C \\ \int \csc x\tan x\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ \int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ \int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-\arctan \frac{1}{x}+C \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \int \sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C \\ \int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C \end{gathered}$$

两个重要极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e \end{gathered}$$

求极限的几个方法

1.直接求

先代值，把非0因子直接算出
再变形（有理化、因式分解、拆项、利用等价无穷小或泰勒展开等）
再代值，把非0因子直接算出
注意要善用四则运算法则

2.夹逼定理

找到恒大于和恒小于该函数的函数，算出另外两个函数的极限（相等），得到极限

3.转化为定积分求解

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
将极限视为适当函数的黎曼和（上式），然后用定积分算出值
例如
求${\lim }_{n\to \infty }n{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(n+k{)}^2}$
可以将上式转化为${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k}{n}{)}^2}$
就可以等价于${\int }_0^1\frac{1}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

4.洛必达法则

当极限为分式且上下极限都是$0$或$\infty$时
上下同时求导，得到新的分式极限不变

积分的几个方法

1.换元

一般就是直接换分母 （暴力出奇迹）
稍微有技巧一点就是换成三角函数，一般都是利用好
${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x={\tan }^{2}x$
${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$
这两条式子即可

2.倒代

碰到上下都是因式但是次数不同的时候
令$t=\frac{1}{x}$，然后再做

3.分部积分

分两类：
1.$\int x^m{e}^x\mathrm{d}x$和$\int x^m\sin x\mathrm{d}x$
这类要把$e^x$和$\sin x$合并到$\mathrm{d}x$里
1.$\int x^m\ln x\mathrm{d}x$、$\int x^m\arcsin x\mathrm{d}x$和$\int x^m\arctan x\mathrm{d}x$
这类要把$x^m$合并到$\mathrm{d}x$里

4.有理化

将有理式拆分成若干个有理式（一般用待定系数法），再逐个积分，最后求和

5.定积分的技巧

1.若被积函数是奇函数，且上下界互为相反数，则答案是0
2.若被积函数是偶函数，且上下界互为相反数，则可以变成两倍的一半（常用于证明题）
3.若被积函数是周期函数，则可以按一段周期求

定积分的应用

1.弧长公式

一般形式：
$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$
参数方程形式：
$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$
极坐标形式：
$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta$

2.旋转体的体积

绕x轴：
$V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$
绕y轴：
$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$

3.旋转体的侧面积

一般形式：
$F=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$
参数方程形式：
$F=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$

4.极坐标下图形的面积

$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$
值得注意的是这里的上下界要考虑对称图形

5.转动惯量

其实是物理的知识了
一般用巴普斯（也叫古鲁丁）定理：
一个面绕一个点转一圈形成的物体的体积=其质心所走的路程*这个面的面积

一些定义

1.间断点

第一类间断点（左右极限都存在）：
可去间断点：左右极限存在且相等，但是不等于函数该处值
跳跃间断点：左右极限存在且不相等
第二类间断点（至少有一边极限不存在）：
无穷间断点：极限为$\infty$
振荡间断点：函数值不确定，如$\sin \frac{1}{x}$在0处

2.函数连续

在某一点连续（$x_0$点）：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
在某个区间连续（在$(a,b)$上）：在$(a,b)$上每一点都连续

3.导数

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$
或者是
${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$
若极限存在，则说明函数在这一点上可导
可导和可微可以互推

4.研究函数性质

驻点（稳定点、临界点）：一导为0且左右一正一负
拐点：二导为0且左右一正一负（二导小于0为凸，二导大于0为凹）
函数渐近线（除去水平渐近线和垂直渐近线）：
设渐近线为$y=kx+b$
则$k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$，$b={\lim }_{x\to \infty }(f(x)-kx)$

一些证明

1.证明函数极限

$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$ 使得
$|f(x)-l|<\epsilon$，只要$0<|x-x_0|<\delta$
则可证明${\lim }_{x\to x_0}f(x)=l$

因此我们的目标是找到 $\delta$ 关于 $\epsilon$ 的函数，使得上式成立
怎么找呢？

反过来想，我们最终找到一条不等式
$|f(x)-l|<A|x-x_0|$（当然x可以有一个事先去的范围比如$(x\in B)$）
这时候我们就可以取$\delta =\frac{1}{A}\epsilon$（并且要满足$|x-x_0|<\delta$）
然后把上面的证明正着写一遍就好了

接下来的目标是找到这条不等式，方法很多，诸如放缩，各种均值不等式等

2.证明极限存在

利用单调函数有界一定存在极限即可证明（$x$趋于$\infty$）

3.证明极限不存在

首先要注意极限是$\infty$也是极限不存在的一种
另外有两种方法：

1. 求出左右极限，说明两者不相等，即可证明极限不存在
2. 找到两个序列（两个的极限都要趋于$x_0$）,证明该函数分别以这两个序列趋于$x_0$时，极限不相等，即可证明（常用于周期函数）

一些定理（公式）

1.罗尔定理

设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$f(a)=f(b)$
又若$y=f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，则必定存在一点$c\in (a,b)$，使得
$$f^{\prime }(c)=0$$

2.微分中值定理（拉格朗日中值定理）

其实是罗尔定理的推论

设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且$y=f(x)$在开区间$(a,b)$上可导，则必定存在一点$c\in (a,b)$使得
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

证明的话就是构造函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，然后运用罗尔定理就可以

有一些奇怪的应用，如：
证明不等式：
$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x，\forall x>0$$
我们可以对$\ln (1+x)$在$[0,x]$上应用微分中值定理，得到$\exists c\in (0,x)$，使得
$$\ln (1+x)-\ln (1+0)=x{f}^{\prime }(c)=\frac{x}{1+c}$$
再将$0$和$x$分别带入，得到上下界，可证明该结论

3.柯西中值定理

其实是微分中值定理的推论（

设$y=f(x)$和$y=g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且在开区间$(a,b)$上可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，则必定存在一点$c\in (a,b)$，使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$

证明和微分中值定理很像，构造函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$，然后同样运用罗尔定理

4.积分中值定理

也是很重要的一个定理
有些题直接套就可以出结果

设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则必定存在一个点$c\in [a,b]$，使得
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(c)(b-a)$$

5.泰勒展开

局部泰勒公式（在$x_0$点，展开$n$阶），其中$x\to x_0$：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$
当$x_0=0$时，该式称为麦克劳林公式
写几个常见的麦克劳林公式，其中$x\to 0$
$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2k+1})$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$
$(1+x{)}^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$
$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
常见的替换
$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$
$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$

6.两函数相乘的n阶导数

$$[f(x)\cdot g(x){]}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{f}^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$
写几个n阶导数
${\sin }^{n}x=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$
${\cos }^{n}x=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$
${\ln }^n(1+x)=(-1{)}^{n-1}(1+x{)}^{-n}(n-1)!$

7.链式法则

看起来很没用实际上很有用的东西
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$
中间可以添若干项

8.三角函数有关

积分的时候经常用到

万能公式

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$
$\cos 2x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$
$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

倍角公式

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
${\tan }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

空间解析几何

定义

平面

$Ax+By+Cz+D=0$（$(A,B,C)$为该平面法向量）

直线

形如$$l:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
表示为两个平面的交线
也可以写成参数方程
形如$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
其中$(a,b,c)$是该直线的方向向量，$(x_0,y_0,z_0)$是该直线上的一点
也会写成坐标形式
$$l:\{\begin{array}{l}x=ta+x_0\\ y=tb+y_0\\ z=tc+z_0\end{array}$$

运算

$a\cdot b=|a||b|\cos <a,b>$
$|a\times b|=|a||b|\sin <a,b>$（方向是用右手定则判断，同时垂直于两个向量）
行列式计算：
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

定理（公式）

1.判断两个向量是否共线

$a,b共线\iff a\times b=0$

2.判断三个向量是否共面

$a,b,c共面\iff a\cdot (b\times c)=0$

3.两个不共线向量确定一个平面

（设为$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_3)$）
令
∣ x y z x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = 0 \begin{vmatrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\\ \end{vmatrix}=0 ​xx1​x2​​yy1​y2​​zz1​z2​​ ​=0
即可得到平面方程

4.直线的方向向量

$$l:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
则该直线的方向向量为两个平面法向量的叉乘

多元函数

是个大坑（还没学完）
所谓多元函数，顾名思义就是有多个自变量的函数
而在多元函数中，我们先前所学的单变量函数的定义域、极限、求导等性质和定理也需要重新定义和推导

多元函数的极限

定义

类比单变量函数的定义，我们认为

$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$ 使得
$|f(x)-A|<\epsilon$，只要$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$
则可证明$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

可以看出，我们对$(x,y)$的要求是其到$(x_0,y_0)$的距离不超过$\delta$，即$(x,y)$的集合是一个圆
在平常的证明之中，有时候我们也可以用另一个正方形的集合作为要求的范围，即将
$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$
改为
$0<|x-x_0|<\delta$且$0<|y-y_0|<\delta$

我们称上述极限为全面极限
不同于全面极限，我们定义累次极限，仅仅只考虑沿$x$或者$y$方向趋于一个点（换言之就是固定$x$或者$y$），写作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)=A$$
值得注意的是，二次累次极限和全面极限并不相等（也就是说一个极限存在另一个可能不存在）
$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)\ne \underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$$

2.求极限的方法

主要也是两种方法：

1. 把原来的多变量函数看成复合函数（要保证原函数之中关于$x,y$的因式都是一样的），用单变量函数的求法
2. 用定义求，不同于一次函数，我们要找到的是关于$x,y$和$\delta$的不等式（当然也可以是$x$和$\delta$以及$y$和$\delta$的）

3.证明极限不存在

除了单变量的证明方法，还可以令$y=k{x}^n$，把$y$带入，将原函数变成单变量函数，证明最后的极限是关于$k$的一条式子
上面的情况可以说明沿不同方向趋近$(x_0,y_0)$时，极限不相同，因此该点极限不存在

多元函数的连续性

概念就不赘述了
讲几个定理（都是在闭区间$D$中）

1. 有界性定理
   存在$M$使得函数都不超过该值
2. 最大（小）值定理
   一定存在最大值$f(P_1)$和最小值$f(P_2)$
3. 介值定理
   在最大值和最小值之间的所有值都能在定义域内取到

一般证明题都是这三条混合着用

偏导数

把其中一个变量看成自变量，其他都看成常数，求导，就得到偏导数
写作（设函数是$z=f(x,y)$）
$$f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}$$
也会有二阶（甚至多阶）偏导的形式，比如
$$f_{xy}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$$
值得注意的是$f_{xy}(x,y)$和$f_{yx}(x,y)$并不一定相等
只有在它们都是连续函数的时候才相等

全微分

直接写公式（设函数是$z=f(x,y)$）
$$\mathrm{d}z=f_x(x,y)\mathrm{d}x+f_y(x,y)\mathrm{d}y$$