高数一（下册）复习

需要记忆的一些公式

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$$
$x为偶数：\frac{\pi (n-1)!!}{2n!!}$
$x为奇数：\frac{(n-1)!!}{n!!}$
$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

积分

重积分

基本的不讲了，讲讲换元

二重积分

先是二重积分的
$${\int \int }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int \int }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$
其中
J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∣ J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} J=∂(u,v)∂(x,y)​= ​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​ ​
特别地，做代换 $$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$得到
$${\int \int }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int \int }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

三重积分

先是二重积分的
$${\int \int \int }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int \int \int }_{{\Omega }^{\prime }}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$
其中
J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ∣ J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} J=∂(u,v,w)∂(x,y,z)​= ​∂u∂x​∂u∂y​∂u∂z​​∂v∂x​∂v∂y​∂v∂z​​∂w∂x​∂w∂y​∂w∂z​​ ​

柱坐标

特别地，做代换 $$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$$得到
$${\int \int \int }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int \int \int }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$

球坐标

又或者做代换 $$\{\begin{array}{cc}x=\rho \sin \varphi \cos \theta ,& 0\le \rho <+\infty \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta ,& 0\le \varphi \le \pi \\ z=z\cos \varphi ,& 0\le \theta <2\pi \end{array}$$
值得注意的是$\theta$是$x$和$y$轴的夹角，$\varphi$是$z$和$Oxy$平面的夹角
得到
$${\int \int \int }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int \int \int }_{{\Omega }^{\prime }}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,z\cos \varphi ){\rho }^2\sin \varphi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$$

另外，要注意利用奇函数和偶函数的性质，可以极大的简化计算

重积分的应用

曲面面积

例如对于$z=f(x,y)$
$$S={\int \int }_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
再如对于参数方程 $$\{\begin{array}{cc}x=x(u,v)& \\ y=y(u,v),& (u,v)\in D^{\prime }\\ z=z(u,v)& \end{array}$$
则设$$\{\begin{array}{c}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v\\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}$$
那么
$$S={\int \int }_{D^{\prime }}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

求转动惯量

设质量密度是$\rho (x,y,z)$
则
$$\begin{gathered} J_z={\int \int \int }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \\ {J}_x={\int \int \int }_{\Omega }(z^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \\ {J}_y={\int \int \int }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \\ {J}_{xy}={\int \int \int }_{\Omega }{z}^2\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \\ {J}_{yz}={\int \int \int }_{\Omega }{x}^2\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \\ {J}_{zx}={\int \int \int }_{\Omega }{y}^2\rho (x,y,z)\mathrm{d}V \end{gathered}$$

曲线积分

第一型曲线积分

假设曲线是$y=y(x)$在$[a,b]$上积分
$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$$
若是参数方程形式$$L:\{\begin{array}{c}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$
其中$t\in [\alpha ,\beta ]$
则
$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t))\sqrt{[{\varphi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$$
三维的曲线积分同理，类比可得

第二型曲线积分

也叫路径积分
对于$$L:\{\begin{array}{c}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$
其中$t\in [\alpha ,\beta ]$，表示曲线$AB$
则$${\int }_{AB}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{\alpha }^{\beta }[P(\varphi (t),\psi (t)){\varphi }^{\prime }(t)+Q(\varphi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)]\mathrm{d}t$$

而第二型曲线积分与路径无关的条件是当
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

另外，若存在$\mathrm{d}u(x,y)=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，则可以直接将曲线头尾带入$u(x,y)$中得到答案

格林公式

设$L$是封闭曲线且为正向曲线（逆时针）
$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int \int }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

第一型曲线积分和第二型曲线积分的相互转化

$${\int }_{AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{AB}(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\mathrm{d}s$$
其中$(\cos \alpha ,\cos \beta )$是曲线$AB$的方向向量

值得注意的是，第一型曲线积分的上下界对调，得到的值是原来的相反数，而第二型曲线积分的值不受上下界对调的影响

曲面积分

第一型曲面积分

假设曲线是$z=g(x,y)$在$D$（投影）上积分
$${\int \int }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\int \int }_{S}f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\mathrm{d}\sigma$$
若是参数方程形式$$\{\begin{array}{cc}x=x(u,v)& \\ y=y(u,v),& (u,v)\in D\\ z=z(u,v)& \end{array}$$
则设$$\{\begin{array}{c}E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v\\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2\end{array}$$
那么和上面提到的面积分一样（或者说上面的曲面积分是$f(x,y,z)=1$的特殊形式）
$${\int \int }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\int \int }_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

第二型曲面积分