【图】连通图、强连通图、弱连通图、生成树、完全图

图论的起源

关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉(E. Euler)在1736年发表的解决“哥尼斯堡"七桥难题的论文：

德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河,河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象或图所示图形的一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形,最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。

图的基本概念

图：图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。通常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫做弧。

无向图：如果一个图是由点和边所构成的，那么，称为无向图，记作G=(V, E)，其中V表示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接点vi,vj的边记作[vi, vj],或者[vj, vi]。

有向图：如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向图，记作D=(V, A)，其中V表示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集合。一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi, vj)。

简单图：一个无环，无多重边的图称为简单图

多重图：一个无环，有多重边的图称为多重图

链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列。如v0,e1,v1,…,vn-1,en,vn。
简单链：链中所含的边均不相同
初等链：链中所含的点均不相同,也称通路

连通图：

连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通图
连通图：在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。

强连通和弱连通的概念只在有向图中存在

强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点v1和v2, 都存在一条从v1到v2和从v2到v1的路径,则称此图是强连通图。

弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图，则有向图是弱连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n - 1条边

最小生成树：一个连通图的生成树可能有多个。边的权值之和最小的生成树是最小生成树

完全图：

有向完全图：在n个顶点的无向图中，若有n(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图
有向完全图：在n个顶点的有向图中，若有n(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图