图论基础（Graph Theory）
图是由结点（Vertex）和边（Edge）组成的抽象的数据结构。结点和结点之间靠边连接起来。
图的分类 1
1、无向图（Undirected Graph），是我们主要研究的部分，我们可以把无向图看成一种特殊的有向图;
2、有向图（Directed Graph），有向图具有不对称的特性。
无向图和有向图
图的分类 2
1、无权图（Unweighted Graph）
2、有权图（Weighted Graph）
无权图和有权图
理解图的连通性。
图的连通性
上面这张图，它的连通分量为 。
简单图（Simple Graph）：无自环边（self-loop），并且无平行边的图（parallel-edges）。
自环边和平行边
我们的学习将从简单图开始。
图的表示
本章仅介绍无权图。图这种数据结构可以使用“邻接矩阵”和“邻接表”来表示。
邻接矩阵
无向图的邻接矩阵表示是一个对称矩阵。
邻接矩阵
邻接表
邻接表
稀疏图与稠密图
邻接表适合表示稀疏图（Sparse Graph），边较少。
邻接矩阵适合表示稠密图（Dense Graph），边较多。
邻接表和邻接矩阵适合表示
我们的图是实现了如下接口的 Java 类。
Java 代码：
// 图的接口，统一表示稀疏图与稠密图
public interface Graph {
// 返回顶点的个数
int V();
// 返回边的条数
int E();
// 在顶点 v 和 w 之间添加一条表
void addEdge(int v, int w);
// 顶点 v 与 顶点 w 是否有边连接
boolean hasEdge(int v, int w);
// 显示这个图中的元素
void show();
// 得到顶点 v 的所有邻居顶点
Iterable adj(int v);
}
编写相邻结点迭代器
为了方便遍历一个点的所有邻居结点，我们需要实现一个迭代器。
稀疏图（邻接表）的相邻点迭代器
由稀疏图（邻接表）的表示决定了返回一个结点的所有相邻结点是十分容易的。
Java 代码：
public Iterable adj(int v) {
assert v >= 0 && v < n;
return g[v];
}
稠密图（邻接矩阵）的相邻点迭代器
由稠密图（邻接矩阵）得到一个结点的所有相邻结点只须遍历邻接矩阵中的一行，把值为 True 的所有顶点拿到即可。
Java 代码：
public Iterable adj(int v){
assert v >= 0 && v < n;
Vector adjV = new Vector<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(g[v][i]){
adjV.add(i);
}
}
return adjV;
}
我们将图的数据以一定格式保存在一个文件中，因此我们要编写一个工具类读这个图文件。
从一个文件读出一个图
我们图的信息存在一个文件中，然后通过读取这个文件的内容得到图的顶点和边的信息，为此我们编写了如下代码。
编写一个读图的工具类
例1：文件 testG1.txt 的内容如下，其中第 1 行的第 1 个数表示这张图有多少个顶点，第 2 个数表示这张图有多少条边。
第 2 行直至最后一行表示的是所有的边，以两个顶点来表示一条边。
13,13
0,5
4,3
0,1
9,12
6,4
5,4
0,2
11,12
9,10
0,6
7,8
9,11
5,3
如果它表示一个无向图，那么画出来就是：
例 1
用邻接表表示是这样的：
例 1 邻接表表示
用邻接矩阵表示是这样的：
例 1 邻接矩阵表示
读图的工具类（Java）
深度优先遍历与图的连通分量
和二分搜索树的遍历一样，图的遍历也可以分为深度优先遍历和广度优先遍历。
图的深度优先遍历
从图中任意一个结点开始，遍历它的相邻结点，只要这个相邻的结点还有相邻的结点就继续遍历，遍历完成以后才返回。深度优先遍历可以使用递归来完成。
递归到底的情形在编码的时候不容易发现，其实就是在所有的结点都被遍历完成的时候，就是递归到底、方法应该返回的时候。
实现深度优先遍历有两个关键点：
从一个顶点开始不停地向下试，直到试不下去了为止；
图和树不一样的，树到了叶子结点就走不下去了，在图中要记录每一个结点是否被遍历过。
图的深度优先遍历的应用
应用1：计算图的连通分量；
Java 代码：经过一次深度优先遍历得到连通分量
public class Component {
private Graph graph;
private boolean[] visited;
// 连通分量的个数，同时可以在遍历的过程中，为各个连通分量所在的集合进行标记
private int ccount;
private void dfs(int i) {
// 记录是否被访问过，这个非常关键，深度遍历一开始就要记录这些结点被访问过
visited[i] = true;
Iterable adj = graph.adj(i);
for(Integer v:adj){
if(!visited[v]){
dfs(v);
}
}
}
// 构造方法，通过传入一个图，经过了深度优先遍历，计算无权图的连通分量
public Component(Graph graph) {
this.graph = graph;
int vCount = graph.V(); // 图中顶点的个数
// 可以不用显式赋值，因为默认就是 false
visited = new boolean[vCount];
for (int i = 0; i < vCount; i++) {
if (!visited[i]){// 如果没有遍历过，就进行一次深度优先遍历
// depth first search 深度优先遍历
// 注意：深度优先遍历，不是遍历这个结点的所有邻居
// 而是把所有与该点向量的所有结点都遍历一遍
dfs(i);
ccount++; // 经过了一次深度优先遍历以后，连通分量 +1
}
}
}
// 返回这个图的连通分量的个数
public int getCcount() {
return ccount;
}
}
- 应用2：通过计算图的连通分量，还可以很快地判断出两个结点是否相连。
在计算连通分量的同时，给每一个顶点编号，编号的规则是：属于一个连通分量的应该编号一样。在上面的代码中，在每一次记录顶点 i 被访问过以后 visited[i] = true;，马上给这个顶点编号，编号就用到此时得到的连通分量的最大值。通过给每个顶点标记，我们就能很轻松地实现查询顶点是否相连，只需要查询它们的连通分量的组别就行了。
Java 代码：
public class Component {
private Graph graph;
private boolean[] visited;
private int[] id;
private int ccount;
private void dfs(int i) {
visited[i] = true;
// 在计算连通分量的同时，给每一个顶点编号，编号的规则是：属于一个连通分量的应该编号一样。
id[i] = ccount;
Iterable adj = graph.adj(i);
for (Integer v : adj) {
if (!visited[v]) {
dfs(v);
}
}
}
public Component(Graph graph) {
this.graph = graph;
int vCount = graph.V();
visited = new boolean[vCount];
id = new int[vCount];
for (int i = 0; i < vCount; i++) {
visited[i] = false;
id[i] = -1;
}
for (int i = 0; i < vCount; i++) {
if (!visited[i]){
dfs(i);
ccount++;
}
}
}
public int getCcount() {
return ccount;
}
public boolean isConnected(int v, int w) {
assert v >= 0 && v < graph.V();
assert w >= 0 && w < graph.V();
return id[v] == id[w];
}
}
寻路算法
在进行深度优先遍历的过程中形成了一条路径，我们这一节的目标是得到这条路径，但我们要知道，使用深度优先遍历并不能保证这条路径是最短的。
寻路算法是一个常见的算法，实现起来也很简单：在每一次遍历的时候，我们都记录一下，这一次遍历从何而来。
使用深度优先遍历获得两点之间的一条路径
Java 代码：
import java.util.Stack;
import java.util.Vector;
// 寻路算法，只能得到无权图的一条路径，该路径并不是最短路径
// 该算法对有向图依然有效
public class Path {
private Graph graph;
private boolean[] visited;
private int[] from;
private void dfs(Integer v) {
visited[v] = true;
Iterable adj = graph.adj(v);
for (Integer i : adj) {
if (!visited[i]) {
from[i] = v;
dfs(i);
}
}
}
public Path(Graph graph, int s) {
assert s >= 0 && s < graph.V();
this.graph = graph;
int vCount = graph.V();
visited = new boolean[vCount];
from = new int[vCount];
for (int i = 0; i < vCount; i++) {
visited[i] = false;
from[i] = -1;
}
// 从 source 开始，做一次深度优先遍历
dfs(s);
}
// 查询从 s 点到 w 点是否有路径
public boolean hasPath(int w) {
assert w >= 0 && w < graph.V();
return visited[w];
}
// 得到从 s 到 w 的一条路径
public void path(int w, Vector vec) {
assert hasPath(w);
// 我们要倒着把路径得到，所以应该借助栈来完成该工作
Stack stack = new Stack<>();
// 这一段逻辑比较绕，但不难
int p = w;
while (p != -1) {
stack.add(p);
p = from[p];
}
while (!stack.isEmpty()) {
vec.add(stack.pop());
}
}
// 显示从 s 到 w 的一条路径
public void showPath(int w) {
Vector vec = new Vector<>();
path(w, vec);
for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
System.out.print(vec.get(i));
if (i == vec.size() - 1) {
System.out.println();
} else {
System.out.print(" -> ");
}
}
}
}
- [ ] 练习 1 ：检查有向图中是否有环。
- [ ] 练习 2 ：检查有向图是否是二分图。
10.7 图的广度优先遍历和无权图的最短路径
- 和树的广度优先遍历是一致，使用队列作为辅助的数据结构；
-
visited数组应该是对加入到队列中的元素进行处理，因为它加入到队列了，早晚都会被处理； - 先遍历到的结点比后遍历到结点距离起始结点更近，所以可以解决最短路径的问题；
- 针对无向图和有向图都有效。
10.7.1 图的广度优先遍历可以回答的问题
图的广度优先遍历 API
Java 代码：
import java.util.*;
public class ShortestPath {
private Graph graph;
private int s; // source
private boolean[] visited;
private int[] from; // 记录了从哪个结点访问而来
private int[] ord; // 记录了层序
public ShortestPath(Graph graph, int s) {
this.graph = graph;
assert s >= 0 && s < graph.V();
visited = new boolean[graph.V()];
from = new int[graph.V()];
ord = new int[graph.V()];
for (int i = 0; i < graph.V(); i++) {
visited[i] = false;
from[i] = -1;
ord[i] = -1;
}
this.s = s;
// 特别要注意：使用链表作为队列的时候，出队和入队不能混淆
// 如果入队的方向是从右到左，出队也是从右到左
// 如果入队的方向是从左到右，出队也是从左到右
LinkedList queue = new LinkedList<>();
queue.push(s);
visited[s] = true;
ord[s] = 0;
while (!queue.isEmpty()) {
// peek 的意思是：我只是瞅了一眼，并没有真的把它拿出来
int v = queue.pollLast();
for (Integer i : graph.adj(v)) {
if (!visited[i]) {
// 注意：LinkedList 有 push 和 add 两种方法
// 这一点区别是我在使用测试用例的过程中发现了错误，使用 IDEA 的 debug 调试代码的过程中发现的
// push 的源代码点开，你会看到 addFirst
// add 的源代码点开，你会看到 linkLast
queue.push(i);
visited[i] = true;
from[i] = v;
ord[i] = ord[v] + 1;
}
}
}
}
// 图的广度优先遍历可以回答的问题 1 : 判断到结点 w 是否有路径
public boolean hasPath(int w) {
assert w >= 0 && w < graph.V();
return visited[w];
}
// 图的广度优先遍历可以回答的问题 2 ：打印从 s 到 w 的最短路径
public void showPath(int w) {
assert hasPath(w);
List paths = path(w);
for (int i = 0; i < paths.size(); i++) {
if (i == paths.size() - 1) {
System.out.println(paths.get(i));
} else {
System.out.print(paths.get(i) + " -> ");
}
}
}
// 图的广度优先遍历可以回答的问题 3 ：计算从 s 到 w 的最短路径
public List path(int w) {
Stack stack = new Stack<>();
int cur = w;
while (cur != -1) {
stack.push(cur);
cur = from[cur];
}
List ret = new ArrayList<>();
while (!stack.isEmpty()) {
ret.add(stack.pop());
}
return ret;
}
// 图的广度优先遍历可以回答的问题 4 ：查看从 s 点到 w 点的最短路径长度，若从 s 到 w 不可达，返回 -1
public int length(int w) {
assert w >= 0 && w < graph.V();
return ord[w];
}
}
关于无权图算法的测试：
// 关于无权图算法的测试
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// 稠密图
// DenseGraph graph = new DenseGraph(13, false);
// new ReadGraphUtil(graph, "testG1.txt");
// graph.show();
// 稀疏图
SparseGraph graph = new SparseGraph(13, false);
new ReadGraphUtil(graph, "testG1.txt");
// graph.show();
Component component = new Component(graph);
System.out.println("图的连通分量：" + component.getCcount());
// 通过深度优先遍历，得到一个路径
Path path = new Path(graph, 0);
// 此时的路径不是最短路径
path.showPath(6);
// 广度优先遍历
ShortestPath shortestPath = new ShortestPath(graph, 0);
shortestPath.showPath(3);
}
}
本文源代码
Python：代码文件夹，Java：代码文件夹。
（本节完）