【C++刷题】【动态规划篇】（一）

一、1137. 第 N 个泰波那契数（easy）

1. 题目链接:1137.第N个泰波那契数

2. 题目描述：

泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //1.状态表示 dp[i] 表⽰：第i个泰波那契数的值。
        //2.状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        //3.初始化 dp[0] = 0,dp[1] = dp[2] = 1
        //4.填表顺序  左->右
        //5.返回值 dp[n]
        
		//未优化版本，时间空间均是O（n）
        if(n==0) return 0;
        if(n==1||n==2) return 1;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[0]=0,dp[1]=dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;++i)
        {
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
        }
        return dp[n];
    }

};

滚动数组优化后的C++代码：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //1.状态表示 dp[i]表示：第i个泰波那契数的值。
        //2.状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        //3.初始化 dp[0] = 0,dp[1] = dp[2] = 1
        //4.填表顺序  左->右
        //5.返回值 dp[n]
       
		//空间复杂度优化为O（1）
        if(n==0) return 0;
        if(n==1||n==2) return 1;
        
        int a,b,c,d;
        a=0,b=c=1;
        for(int i=3;i<=n;++i)
        {
            d=a+b+c;
            a=b,b=c,c=d;
        }
        return d;

    }

};

二、三步问题（easy）

1. 题目链接：面试题 08.01. 三步问题

2. 题目描述：

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    const int A=1e9+7;

    int waysToStep(int n) {
        //1. dp[i] 表⽰：到达i位置时，⼀共有多少种⽅法
        //2.  dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3] 
        //3. dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4 
        //4. 左->右
        //5. dp[n]
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        if(n==3) return 4;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
        for(int i=4;i<=n;++i)
        {
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%A+dp[i-3])%A;
        }
        return dp[n];

    }
};

三、使用最小花费爬楼梯（easy）

1. 题目链接：746.使⽤最⼩花费爬楼梯

2. 题目描述：

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        //1. dp【i】 表示走到i层阶梯需要花费的钱
        //2. 动态规划：dp[i]=min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i])
        
        //正向算
        // int n=cost.size();
        // vectordp(n+1);
        // // dp[0]=dp[1]=0;
        // for(int i=2;i<=n;++i)
        // {
        //     dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        // }
        // return dp[n];

        //逆向算
        int n=cost.size();
        vector<int>dp(n);
        dp[n-1]=cost[n-1],dp[n-2]=cost[n-2];
        for(int i=n-3;i>=0;--i)
        {
            dp[i]=min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i]);
        }
        return min(dp[0],dp[1]);
    }
};

四、解码方法（medium）

1. 题目链接：91.解码方法

2. 题目描述：

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

‘A’ -> “1”
‘B’ -> “2”
…
‘Z’ -> “26”
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，“11106” 可以映射为：

“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6) “KJF” ，将消息分组为 (11 10 6) 注意，消息不能分组为 (1 11
06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
	//dp[i] 表⽰：字符串中[0，i]区间上，⼀共有多少种编码⽅法
	//当s[i]上的数在[1, 9]区间上时  dp[i] += dp[i - 1]
	//当s[i - 1]与s[i]上的数结合后，在[10, 26] 之间的时候：
	//dp[i] +=dp[i - 2] 
	
        //不带辅助数组

    //    int n=s.size();
    //    vectordp(n);
    //    dp[0]=s[0]!='0';
    //    if(n==1)return dp[0];
    //    if(s[0]!='0'&&s[1]!='0') dp[1]+=1;
    //    int t=(s[0]-'0')*10+s[1]-'0';
    //    if(t>=10&&t<=26) dp[1]+=1;
    //    for(int i=2;i
    //    {
    //        if(s[i]!='0') dp[i]=dp[i-1];
    //        int t=(s[i-1]-'0')*10+s[i]-'0';
    //        if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2]; 
    //    }
    //    return dp[n-1];

        //带辅助数组

        int n=s.size();
        vector<int>dp(n+1);
        dp[0]=1;
        if(s[0]!='0') dp[1]+=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if(s[i-1]-'0') dp[i]+=dp[i-1];
            int t=(s[i-2]-'0')*10+s[i-1]-'0';
            if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

五、不同路径（medium）

1. 题目链接：62. 不同路径

2. 题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //dp[i][j]表⽰：⾛到[i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。
        // dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

        vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,1));
        for(int i=1;i<m;++i)
        {
            for(int j=1;j<n;++j)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

六、不同路径II（medium）

1. 题目链接：63. 不同路径 II

2. 题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        //dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。
        //不遇到障碍物 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
        //遇到障碍物之间变为dp[i][j]=0
        int m=obstacleGrid.size();
        int n=obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
        dp[0][1]=1;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(obstacleGrid[i-1][j-1]==0)
                {
                   dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

七、礼物的最大价值（medium）

1. 题目链接：剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

2. 题目描述：

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        //dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值
        // dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
        
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

八、下降路径最小和（hard）

1. 题目链接：931. 下降路径最小和

2. 题目描述：

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        //dp[i][j] 表⽰：到达[i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和
        // dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j]
        //最⼩值

        int n=matrix.size();

        vector<vector<int>>dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));    //多加一行多加两列
        for(int i=0;i<n+2;++i)
        {
            dp[0][i]=0; //第一行初始化为0
        }

        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        int ret=INT_MAX;
        for(int i=0;i<=n;++i)
        {
            ret=min(ret,dp[n][i]);
        }
        return ret;
    }
};

九、最小路径和

1. 题目链接：64. 最小路径和

2. 题目描述：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        //dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少
        //dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[0][1]=dp[1][0]=0;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

十、地下城游戏

1. 题目链接：174. 地下城游戏

2. 题目描述：

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

3. C++算法代码：

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        //本题较为特殊  反向考虑
        //dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数
        //状态转移方程
        //dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
        //同时需要考虑dp[i][j]不能小于0,如果得到的dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
        //其中dungeon[i][j]很大,是一个很大的血包，如果一个负血量的人仍能从这走到终点
        //不符合实际情况，最差要有一滴血
        //所以dp[i][j]=max(1,dp[i][j]); 把负数该为1

        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();

        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};

总结

到这里就暂时结束了，如果有问题可以私信我。

动态规划做题过程总结
//1.状态表示
//2.状态转移方程
//3.初始化
//4.填表顺序
//5.返回值
动态规划需要多做题，积累经验！！！