7.4 平面及其方程

作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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空间几何图形是空间点在一定条件下的运动轨迹，而空间点的坐标是用一组有序数组 $（x,y,z)$来表示的，那么点的运动轨迹就可以用点的坐标所满足的方程或方程组来表示.

在实际生活中，常见的平面是曲面的特殊情形，因此这一节先来讨论简单的情形：平面及其方程.

平面的点法式方程

1. 平面的法线向量

1、定义：如果一非零向量垂直于一平面，则该向量叫做该平面的法线向量
2、特点：平面的法线向量垂直于平面内的任一向量

注：由于零向量的方向是任意的，所有规定零向量与任何向量都垂直.

2. 平面的点法式方程

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$称为平面的点法式方程

其中 $n$={A,B,C}是平面的法向量，$M_0(x_0,y_0,z_0)$是平面上的已知点.

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平面的一般方程

$Ax+By+Cz+D=0$          ~~~~~~~~         (1)
称为平面的一般式方程

其中 $n$={A,B,C}是平面的法向量

2. 平面方程的几种特殊情况

①当$D=0$时，$Ax+By+Cz=0$表示通过原点的平面；
②当$A=0$时，$By+Cz+D=0$表示平行于$x$轴的平面；
③当$B=0$时，$Ax+Cz+D=0$表示平行于$y$轴的平面；
④当$C=0$时，$Ax+By+D=0$表示平行于$z$轴的平面；
⑤当$A=B=0$时，$Cz+D=0$表示平行于$xoy$面的平面；
⑥当$B=C=0$时，$Ax+D=0$表示平行于$yoz$面的平面；
⑦当$A=C=0$时，$By+D=0$表示平行于$zox$面的平面.

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平面的截距式方程

设平面与三坐标轴的交点分别为$P(a,0,0)$,$Q(0,b,0)$,$R(0,0,c)$时

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(a,b,c\ne 0)$ 称为平面的截距式方程

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点到平面的的距离

设$P_0(x_0,y_0,z_0)$是平面$Ax+By+Cz+D=0$外的一点，求$P_0$到平面的距离.

             ~~~~~~~~~~~~              $d=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

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两平面的位置关系

1. 定义

两平面法向量之间的夹角（通常取锐角或直角）称为两平面的夹角.

2. 两平面的夹角
   设平面${\Pi }_1：A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$，平面${\Pi }_2：A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$.
   则平面${\Pi }_1$的法向量为 $n_1$=$\{A_1,B_1,C_1\}$，平面${\Pi }_2$的法向量为 $n_2$=$\{A_2,B_2,C_2\}$.

$cos\theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$=$\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

3. 两平面的位置关系

①${\Pi }_1\perp {\Pi }_2$ $⟺$$n_1\perp n_2$ $⟺$$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

②${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2$ $⟺$$n_1\parallel n_2$ $⟺$$\frac{A_1}{A_2}+\frac{B_1}{B_2}+\frac{C_1}{C_2}$

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