7.4 平面及其方程

作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人!
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文章目录

  • 平面的点法式方程
  • 平面的一般方程
  • 平面的截距式方程
  • 点到平面的的距离
  • 两平面的位置关系

空间几何图形是空间点在一定条件下的运动轨迹,而空间点的坐标是用一组有序数组 ( x , y , z ) (x,y,z) x,y,z)来表示的,那么点的运动轨迹就可以用点的坐标所满足的方程或方程组来表示.

在实际生活中,常见的平面是曲面的特殊情形,因此这一节先来讨论简单的情形:平面及其方程.

平面的点法式方程

  1. 平面的法线向量

1、定义:如果一非零向量垂直于一平面,则该向量叫做该平面的法线向量
2、特点:平面的法线向量垂直于平面内的任一向量

注:由于零向量的方向是任意的,所有规定零向量与任何向量都垂直.

  1. 平面的点法式方程

A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称为平面的点法式方程

其中 n → \overrightarrow{n} n ={A,B,C}是平面的法向量, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) M0(x0,y0,z0)是平面上的已知点.



平面的一般方程

A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0          ~~~~~~~~         (1)
称为平面的一般式方程

其中 n → \overrightarrow{n} n ={A,B,C}是平面的法向量

  1. 平面方程的几种特殊情况

①当 D = 0 D=0 D=0时, A x + B y + C z = 0 Ax+By+Cz=0 Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;
②当 A = 0 A=0 A=0时, B y + C z + D = 0 By+Cz+D=0 By+Cz+D=0表示平行于 x x x轴的平面;
③当 B = 0 B=0 B=0时, A x + C z + D = 0 Ax+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0表示平行于 y y y轴的平面;
④当 C = 0 C=0 C=0时, A x + B y + D = 0 Ax+By+D=0 Ax+By+D=0表示平行于 z z z轴的平面;
⑤当 A = B = 0 A=B=0 A=B=0时, C z + D = 0 Cz+D=0 Cz+D=0表示平行于 x o y xoy xoy面的平面;
⑥当 B = C = 0 B=C=0 B=C=0时, A x + D = 0 Ax+D=0 Ax+D=0表示平行于 y o z yoz yoz面的平面;
⑦当 A = C = 0 A=C=0 A=C=0时, B y + D = 0 By+D=0 By+D=0表示平行于 z o x zox zox面的平面.


平面的截距式方程

设平面与三坐标轴的交点分别为 P ( a , 0 , 0 ) P(a,0,0) P(a,0,0), Q ( 0 , b , 0 ) Q(0,b,0) Q(0,b,0), R ( 0 , 0 , c ) R(0,0,c) R(0,0,c)

x a + y b + z c = 1 ( a , b , c ≠ 0 ) \Large \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(a,b,c\neq0) ax+by+cz=1(a,b,c=0) 称为平面的截距式方程


点到平面的的距离

P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) P0(x0,y0,z0)是平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0外的一点,求 P 0 P_{0} P0到平面的距离.

             ~~~~~~~~~~~~              d = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2 \Large d=\frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} d=A2+B2+C2 Ax0+By0+Cz0+D


两平面的位置关系

  1. 定义

两平面法向量之间的夹角(通常取锐角或直角)称为两平面的夹角.

  1. 两平面的夹角
    设平面 Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 Π_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 Π1A1x+B1y+C1z+D1=0,平面 Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Π_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 Π2A2x+B2y+C2z+D2=0.
    则平面 Π 1 Π_{1} Π1的法向量为 n → 1 \overrightarrow{n}_{1} n 1= { A 1 , B 1 , C 1 } \{A_{1},B_{1},C_{1}\} {A1,B1,C1},平面 Π 2 Π_{2} Π2的法向量为 n → 2 \overrightarrow{n}_{2} n 2= { A 2 , B 2 , C 2 } \{A_{2},B_{2},C_{2}\} {A2,B2,C2}.

c o s θ = ∣ n → 1 ⋅ n → 2 ∣ ∣ n → 1 ∣ ∣ n → 2 ∣ \Large cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n}_{1}\cdot\overrightarrow{n}_{2}|}{|\overrightarrow{n}_{1}||\overrightarrow{n}_{2}|} cosθ=n 1∣∣n 2n 1n 2= ∣ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ∣ A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 \frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} A12+B12+C12 A22+B22+C22 A1A2+B1B2+C1C2

  1. 两平面的位置关系

Π 1 ⊥ Π 2 Π_{1}\botΠ_{2} Π1Π2 ⟺ \Longleftrightarrow n → 1 ⊥ n → 2 \overrightarrow{n}_{1}\bot\overrightarrow{n}_{2} n 1n 2 ⟺ \Longleftrightarrow A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0 A1A2+B1B2+C1C2=0

Π 1 ∥ Π 2 Π_{1}\parallel Π_{2} Π1Π2 ⟺ \Longleftrightarrow n → 1 ∥ n → 2 \overrightarrow{n}_{1}\parallel\overrightarrow{n}_{2} n 1n 2 ⟺ \Longleftrightarrow A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \large\frac{A_{1}}{A_{2}}+\frac{B_{1}}{B_{2}}+\frac{C_{1}}{C_{2}} A2A1+B2B1+C2C1


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